1. (3,0 pontos) Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
    (a) \left(1,0\right. ponto) Se A^{k+1}=0, então (I-A)\left(I+A+A^{2}+\ldots+A^{k}\right)=I.
    (b) \left(1,0\right. ponto) (I+A B)^{-1} A=\left(A^{-1}+B\right)^{-1}.
    (c) (1,0 ponto) Se C=A B A^{-1} é idempotente, ent ão B é idempotente.

Passo 1

O enunciado pede provas de três identidades em álgebra de matrizes n\times n:
  • (a) quando A^{k+1}=0 mostrar que (I - A)(I + A + A^2 + \cdots + A^k)=I. Aqui usaremos a soma telescópica e o fato de que A é nilpotente.
  • (b) demonstrar que
(I + AB)^{-1}A = \bigl(A^{-1}+B\bigr)^{-1},
usando propriedades de inversa de produto.
  • (c) a partir de C = A B A^{-1} idempotente ( C^2=C), concluir que B também é idempotente.

Passo 2

Prova de (a):
Considere o produto
(I - A)(I + A + A^2 + \cdots + A^k).
Expandindo, obtemos
I + A + A^2 + \cdots + A^k \;-\;\bigl(A + A^2 + \cdots + A^{k+1}\bigr).
Quase todos os termos cancelam em soma telescópica, sobrando
I - A^{k+1}.
Como A^{k+1}=0 por hipótese, concluímos
(I - A)(I + A + \cdots + A^k)=I.

Passo 3

Prova de (b):
Defina
X = (I + AB)^{-1}A.
Vamos achar X^{-1}. Note que
X^{-1} = A^{-1}\,(I + AB) = A^{-1} + A^{-1}A\,B = A^{-1} + B.
Logo
X = \bigl(A^{-1} + B\bigr)^{-1},
isto é
(I + AB)^{-1}A = \bigl(A^{-1} + B\bigr)^{-1}.

Passo 4

Prova de (c):
Suponha C = ABA^{-1} idempotente. Então
C^2 = C \implies (ABA^{-1})(ABA^{-1}) = ABA^{-1} \implies A\,B^2\,A^{-1} = A\,B\,A^{-1}.
Multiplicando à esquerda por A^{-1} e à direita por A, segue
B^2 = B,
ou seja, B é idempotente.

Resposta

As três afirmações foram provadas conforme solicitado.

Exercícios relacionados