- (3,0 pontos) Sejam
e
matrizes de tamanho
. Prove o seguinte:
(a)
ponto) Se
, então
.
(b)
ponto)
.
(c) (1,0 ponto) Se
é idempotente, ent ão
é idempotente.
(a)
(b)
(c) (1,0 ponto) Se
Passo 1
O enunciado pede provas de três identidades em álgebra de matrizes
:
- (a) quando
mostrar que . Aqui usaremos a soma telescópica e o fato de que é nilpotente. - (b) demonstrar que
usando propriedades de inversa de produto.
- (c) a partir de
idempotente ( ), concluir que também é idempotente.
Passo 2
Prova de (a):
Considere o produto
Considere o produto
Expandindo, obtemos
Quase todos os termos cancelam em soma telescópica, sobrando
Como
por hipótese, concluímos
Passo 3
Prova de (b):
Defina
Defina
Vamos achar
. Note que
Logo
isto é
Passo 4
Prova de (c):
Suponha idempotente. Então
Suponha
Multiplicando à esquerda por
e à direita por
, segue
ou seja,
é idempotente.
Resposta
As três afirmações foram provadas conforme solicitado.