As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & x\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & y \end{pmatrix}
e pede os valores de x e y tais que o sistema A\mathbf{u} = \mathbf{b} tenha “0 ou infinitas soluções, a depender de \mathbf{b}”. O conteúdo aqui é análise de postos de matriz (rank) e tipos de solução de sistemas lineares.

Passo 2

Para que um sistema com n incógnitas tenha ou nenhuma solução (para certos \mathbf{b}) ou infinitas soluções (para outros \mathbf{b}), o posto de A deve ser menor que n. Aqui n=2, logo precisamos de
\mathrm{rank}(A)=1.

Passo 3

O posto de A ser 1 significa que as duas colunas de A são linearmente dependentes. Chamando as colunas de \mathbf{c}_1=(3,2,1)^T e \mathbf{c}_2=(x,1,y)^T, há \lambda tal que
\mathbf{c}_2 = \lambda\,\mathbf{c}_1.

Passo 4

Da segunda componente vem
1 = \lambda \cdot 2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \tfrac12.
Então
x = \lambda\cdot 3 = \tfrac12\cdot 3 = \tfrac{3}{2}, \qquad y = \lambda\cdot 1 = \tfrac12.

Resposta

x = \tfrac{3}{2} e y = \tfrac{1}{2}.

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