As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}3 & x \\\\ 2 & 1 \\\\ 1 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 3 & x\\\\ 2 & 1\\\\ 1 & y \end{pmatrix}
e pede os valores de x e y tais que o sistema A\mathbf{u} = \mathbf{b} tenha “0 ou infinitas soluções, a depender de \mathbf{b}”. O conteúdo aqui é análise de postos de matriz (rank) e tipos de solução de sistemas lineares.
Passo 2
Para que um sistema com n incógnitas tenha ou nenhuma solução (para certos \mathbf{b}) ou infinitas soluções (para outros \mathbf{b}), o posto de A deve ser menor que n. Aqui n=2, logo precisamos de
\mathrm{rank}(A)=1.
Passo 3
O posto de A ser 1 significa que as duas colunas de A são linearmente dependentes. Chamando as colunas de \mathbf{c}_1=(3,2,1)^T e \mathbf{c}_2=(x,1,y)^T, há \lambda tal que