As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 1 & 2 \\\\ 3 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A(x)=\begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 2\\\\ 3 & x \end{pmatrix}
de um sistema 3\times2 em (x_1,x_2) e pede para achar os valores de x tais que o sistema A(x)\,\mathbf{x}=\mathbf b tenha “0 ou 1 solução, a depender de \mathbf b”. Isso ocorre sempre que o posto de A(x) for igual ao número de colunas, ou seja, \rank(A)=2.

Passo 2

Pela teoria de sistemas lineares, para uma matriz m\times n com m>n, temos:
  • se \rank(A)=n, o espaço nulo tem dimensão n-\rank(A)=0, logo, se o sistema for consistente há exatamente 1 solução; se for inconsistente, não há nenhuma solução.
  • se \rank(A)<n, então há ou infinitas soluções (se consistente) ou nenhuma (se inconsistente).
    Portanto queremos \rank(A)=2.

Passo 3

Para determinar \rank(A) basta verificar que as duas primeiras linhas já são linearmente independentes. De fato, o menor principal
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot1=6-1=5\neq0
mostra que essas duas linhas formam um subespaço de dimensão 2. Como o número de colunas de A é 2, concluímos
\rank(A(x))=2\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Como \rank(A(x))=2 independe de x, o sistema A(x)\,\mathbf x=\mathbf b terá exatamente 0 ou 1 solução (dependendo de \mathbf b) para qualquer valor de x.

Resposta

O sistema tem “0 ou 1 solução a depender de \mathbf b” para todo x\in\mathbb{R}.

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