As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{lll}2 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & 4 & x\\\\ 3 & y & 1\end{pmatrix}
de um sistema 2 \times 3. Queremos que, para qualquer vetor \boldsymbol{b}=(b_1,b_2), o sistema A\mathbf{z}=\boldsymbol{b} seja sempre consistente e tenha infinitas soluções.

Passo 2

Para que um sistema A\mathbf z=\boldsymbol b seja sempre consistente (isto é, para todo \boldsymbol b) é necessário e suficiente que
\rank(A)=2,
pois então o espaço coluna de A é todo \mathbb R^2. Como A é 2\times3, ter \rank(A)=2 implica ainda que o número de variáveis ( 3) é maior que a posto, garantindo infinitas soluções.

Passo 3

O posto de A é 2 se existir pelo menos um menor 2\times2 não nulo. Dois dos menores são:
M_{12}=\begin{vmatrix}2&4\\\ 3&y\end{vmatrix}=2y-12, \qquad M_{13}=\begin{vmatrix}2&x\\\ 3&1\end{vmatrix}=2-3x.
Logo \rank(A)=2 se e somente se
M_{12}\neq0\quad\text{ou}\quad M_{13}\neq0,
ou seja, se e somente se
2y-12\neq0 \quad\text{ou}\quad 2-3x\neq0.

Passo 4

As duas condições 2y-12=0 e 2-3x=0 só ocorrem simultaneamente quando
y=6 \quad\text{e}\quad x=\tfrac{2}{3}.
Nesse único caso \rank(A)=1 e não se tem consistência para todo \boldsymbol b. Em qualquer outro par (x,y) temos \rank(A)=2, garantindo consistência para todo \boldsymbol b e, como 3>2, infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem infinitas soluções para qualquer \boldsymbol b se, e somente se,
(x,y)\neq\Bigl(\tfrac{2}{3},6\Bigr).

Exercícios relacionados