As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(0,5 ponto) \left[\begin{array}{lll}x & 4 & 3 \\\\ 2 & 6 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} x & 4 & 3\\\\ 2 & 6 & y \end{pmatrix}
de um sistema de 2 equações e 3 incógnitas. Queremos que, dependendo do vetor \boldsymbol b=(b_{1},b_{2}), o sistema tenha ou nenhuma solução, ou infinitas soluções.
Para isso é preciso que 1. \rank(A)<3 (para haver infinitas soluções quando consistente), e 2. haja escolhas de \boldsymbol b tais que \rank([A|\boldsymbol b])>\rank(A) (gerando inconsistência e, portanto, nenhuma solução).
Passo 2
Como A é 2\times3, para ter \rank(A)=1 basta que as duas linhas sejam proporcionais. Suponha
y = \lambda\cdot 3 = \tfrac32 \cdot 3 = \tfrac{9}{2}.
Passo 3
Com x=\tfrac{4}{3} e y=\tfrac{9}{2} temos \rank(A)=1.
Se \boldsymbol b satisfaz a mesma proporcionalidade entre componentes, ou seja(b_{2}) = \tfrac32\,(b_{1}),então \rank([A|\boldsymbol b])=1 e o sistema é consistente com 3-1=2 graus de liberdade \to infinitas soluções.
Se \boldsymbol b não satisfaz b_{2}=\tfrac32\,b_{1}, então \rank([A|\boldsymbol b])=2>\rank(A) \to inconsistência \to nenhuma solução.
Resposta
x = \tfrac{4}{3},\;y = \tfrac{9}{2}.
O sistema tem infinitas soluções se e só se b_{2}=\tfrac32\,b_{1}, e não tem solução caso contrário.