As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left(0,5\right. ponto) \left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinit as soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 0 & x & 4\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
e pede os valores de x para os quais o sistema A\mathbf{u} = \mathbf{b} não tem solução única, isto é, tem ou nenhuma solução ou infinitas soluções conforme \mathbf{b}. Isso acontece exatamente quando A é singular, isto é, \det(A)=0.

Passo 2

Calculamos o determinante de A pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores. Por exemplo, usando expansão na primeira linha:
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&3\end{pmatrix} - x\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&3\end{pmatrix} +4\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&4\end{pmatrix}.

Passo 3

Avaliamo-s os menores:
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&3\end{pmatrix}=2\cdot3-1\cdot4=6-4=2, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&3\end{pmatrix}=1\cdot3-1\cdot1=2, \quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&4\end{pmatrix}=1\cdot4-2\cdot1=2.
Logo
\det(A)=0\cdot2 - x\cdot2 +4\cdot2 = -2x +8.

Passo 4

Para que A seja singular precisamos de
\det(A)= -2x +8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=4.
Quando x=4, a matriz A perde posto, e dependendo do vetor \mathbf{b} o sistema pode ficar inconsistente (nenhuma solução) ou ter soluções infinitas.

Resposta

x = 4.

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