As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}3 & 4 & x \\\\ 6 & y & 2\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
de um sistema 2\times3 e quer que haja “0 ou infinitas soluções, conforme \mathbf b=(b_1,b_2)”. Vamos usar o Teorema de Rouché-Frobenius: para que exista algum \mathbf b sem solução e outros com infinitas soluções, precisamos ter
o posto de A menor que o número de incógnitas (para infinitas soluções quando for compatível), e
o posto de A igual a 1 (para que haja vetores \mathbf b fora da imagem de A, gerando incompatibilidade).]
Passo 2
Como A é 2\times3, seu posto \mathrm{rank}(A) pode ser 0, 1 ou 2. Para garantir infinitas soluções quando o sistema for compatível, precisamos de \mathrm{rank}(A)<3, o que já vale sempre. Para que haja também casos incompatíveis (0 soluções), deve ocorrer \mathrm{rank}(A)<2. Assim queremos
\mathrm{rank}(A)=1.
Isto equivale a dizer que as duas linhas de A são dependentes lineares.
Passo 3
Dependência das linhas significa que existe escalar k tal que
(6,\;y,\;2)=k\,(3,\;4,\;x).
Comparando coordenadas:
6=3k ⇒ k=2.
y=4k ⇒ y=4\cdot2=8.
2=x\,k ⇒ 2=2x ⇒ x=1.
Passo 4
Com x=1 e y=8, temos \mathrm{rank}(A)=1. O espaço coluna de A é gerado por (3,6), ou seja, por (1,2). Logo o sistema é compatível (infinitas soluções) exatamente quando