As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}3 & 4 & x \\\\ 6 & y & 2\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 3 & 4 & x\\[6pt] 6 & y & 2 \end{pmatrix}
de um sistema 2\times3 e quer que haja “0 ou infinitas soluções, conforme \mathbf b=(b_1,b_2)”. Vamos usar o Teorema de Rouché-Frobenius: para que exista algum \mathbf b sem solução e outros com infinitas soluções, precisamos ter
  1. o posto de A menor que o número de incógnitas (para infinitas soluções quando for compatível), e
  2. o posto de A igual a 1 (para que haja vetores \mathbf b fora da imagem de A, gerando incompatibilidade).]

Passo 2

Como A é 2\times3, seu posto \mathrm{rank}(A) pode ser 0, 1 ou 2. Para garantir infinitas soluções quando o sistema for compatível, precisamos de \mathrm{rank}(A)<3, o que já vale sempre. Para que haja também casos incompatíveis (0 soluções), deve ocorrer \mathrm{rank}(A)<2. Assim queremos
\mathrm{rank}(A)=1.
Isto equivale a dizer que as duas linhas de A são dependentes lineares.

Passo 3

Dependência das linhas significa que existe escalar k tal que
(6,\;y,\;2)=k\,(3,\;4,\;x).
Comparando coordenadas:
  1. 6=3k k=2.
  2. y=4k y=4\cdot2=8.
  3. 2=x\,k 2=2x x=1.

Passo 4

Com x=1 e y=8, temos \mathrm{rank}(A)=1. O espaço coluna de A é gerado por (3,6), ou seja, por (1,2). Logo o sistema é compatível (infinitas soluções) exatamente quando
\begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} \;\in\; \mathrm{Span}\{(1,2)\} \quad\Longleftrightarrow\quad b_2=2\,b_1,
e é incompatível (0 soluções) sempre que b_2\neq2b_1.

Resposta

x=1,\quad y=8.

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