As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & x & 0 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 4 & x & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede um valor de x tal que o sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo de \mathbf{b}. Para que isso ocorra, A deve ser singular, ou seja, \det(A)=0.
Passo 2
Vamos calcular \det(A) em função de x. Usando expansão pela primeira linha,
\det(A) = 1\cdot x \;-\;4\cdot4\;+\;3\cdot(8-3x) = x -16 +24 -9x = -8x + 8.
Passo 3
Para A ser singular, impomos \det(A)=0:
-8x +8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Com x=1, \det(A)=0 e o sistema tem posto menor que 3, podendo ser incompatível (nenhuma solução) ou ter infinitas soluções, conforme o vetor \mathbf{b}.