As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas. \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & x \\\\ 3 & y & 1\end{array}\right], infinitas soluções para qualquer \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).
Para que o sistema seja sempre consistente (solução existe para todo \boldsymbol b), a matriz A deve ter posto igual ao número de equações, isto é, \mathrm{rank}(A)=2.
Como há 3 incógnitas e o posto é 2, haverá sempre uma variável livre, garantindo infinitas soluções.
Passo 3
O posto de A será 2 se e somente se as duas linhas forem linearmente independentes. Isso equivale a existir pelo menos um menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, o menor formado pelas colunas 1 e 2 é
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 3 & y\end{pmatrix} =1\cdot y - 4\cdot 3 = y - 12.
Se y\neq 12, esse determinante é não nulo e logo \mathrm{rank}(A)=2.
Caso y=12, podemos usar o menor das colunas 1 e 3: