As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, atribua um valor para x e um valor para y (quando houver y ) de forma que o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & x & 0 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 4 & x & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede um valor de x tal que o sistema A\mathbf{u}=\mathbf{b} tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo de \mathbf{b}. Para que isso ocorra, A deve ser singular, ou seja, \det(A)=0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) em função de x. Usando expansão pela primeira linha,
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}x & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -4\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 3 & 1\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & x\\\ 3 & 2\end{pmatrix}.
Cada menor é
\det\begin{pmatrix}x & 0\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =x\cdot1 - 0\cdot2 = x,
\det\begin{pmatrix}4 & 0\\\ 3 & 1\end{pmatrix} =4\cdot1 - 0\cdot3 =4,
\det\begin{pmatrix}4 & x\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =4\cdot2 - x\cdot3 =8 - 3x.
Substituindo,
\det(A) = 1\cdot x \;-\;4\cdot4\;+\;3\cdot(8-3x) = x -16 +24 -9x = -8x + 8.

Passo 3

Para A ser singular, impomos \det(A)=0:
-8x +8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.
Com x=1, \det(A)=0 e o sistema tem posto menor que 3, podendo ser incompatível (nenhuma solução) ou ter infinitas soluções, conforme o vetor \mathbf{b}.

Resposta

x = 1

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