As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
\left[\begin{array}{lll}0 & x & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 3\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 0 & x & 4 \\[6pt] 1 & 2 & 1 \\[3pt] 1 & 4 & 3 \end{pmatrix}
e pede os valores de x para os quais o sistema A\,\boldsymbol{u}=\boldsymbol b não tem solução única, ou seja, pode ter zero ou infinitas soluções dependendo de \boldsymbol b. Isso ocorre exatamente quando A é singular, isto é, \det(A)=0.]

Passo 2

Vamos calcular \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) =0 \cdot \begin{vmatrix}2 & 1\\[3pt]4 & 3\end{vmatrix} - x \cdot \begin{vmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 3\end{vmatrix} +4 \cdot \begin{vmatrix}1 & 2\\[3pt]1 & 4\end{vmatrix}.]

Passo 3

Cada menor determina:
\begin{vmatrix}2 & 1\\\ 4 & 3\end{vmatrix}=2\cdot3-1\cdot4=6-4=2, \quad \begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & 3\end{vmatrix}=1\cdot3-1\cdot1=2, \quad \begin{vmatrix}1 & 2\\\ 1 & 4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot1=2.
Logo
\det(A)=0\cdot2 - x\cdot2 +4\cdot2 = -2x +8.

Passo 4

Para que A seja singular basta \det(A)=0, ou seja
-2x +8 =0 \quad\Longrightarrow\quad x =4.
Quando x=4, o posto de A é menor que 3 e o sistema pode ter zero ou infinitas soluções conforme o vetor \boldsymbol b. Se x\neq4, \det(A)\neq0 e há solução única para todo \boldsymbol b.

Resposta

x=4.

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