Prove o seguinte:
Se
é uma matriz quadrada idempotente invertível, então
é a matriz identidade.
Se
Passo 1
O enunciado considera uma matriz quadrada
que satisfaz
(idempotência) e que é inversível. O conteúdo é Álgebra Linear, em particular propriedades de matrizes idempotentes e inversíveis. Para resolver, vamos usar a relação
e multiplicar por
.
Passo 2
Escrevemos a condição de idempotência em forma de equação:
Passo 3
Como
é inversível, existe
tal que
Multiplicamos a igualdade
pela direita por
:
Passo 4
No lado esquerdo temos
enquanto no lado direito
Portanto, concluímos