Prove o seguinte:
Se M é uma matriz quadrada idempotente invertível, então M é a matriz identidade.

Passo 1

O enunciado considera uma matriz quadrada M que satisfaz
M^2 = M
(idempotência) e que é inversível. O conteúdo é Álgebra Linear, em particular propriedades de matrizes idempotentes e inversíveis. Para resolver, vamos usar a relação M^2=M e multiplicar por M^{-1}.

Passo 2

Escrevemos a condição de idempotência em forma de equação:
M^2 = M.

Passo 3

Como M é inversível, existe M^{-1} tal que
M\,M^{-1} = I.
Multiplicamos a igualdade M^2 = M pela direita por M^{-1}:
M^2\,M^{-1} = M\,M^{-1}.

Passo 4

No lado esquerdo temos
M^2\,M^{-1} = (M\,M)\,M^{-1} = M\,(M\,M^{-1}) = M\,I = M,
enquanto no lado direito
M\,M^{-1} = I.
Portanto, concluímos
M = I.

Resposta

M = I

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