As seguintes sequências têm um padrão natural de continuação. Usando tal padrão determine uma formula para o termo geral da sequência.
23, 32 cdot 4, 43 cdot 5, 54 cdot 6, 65 cdot 7, ldots

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma sequência de frações: 23, 32 cdot 4, 43 cdot 5, 54 cdot 6, 65 cdot 7, ldots e precisa descobrir uma fórmula que descreva qualquer termo dessa sequência. Para resolver isso, vamos precisar entender padrões em sequências e usar um pouquinho de álgebra para generalizar o termo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como os numeradores e denominadores estão mudando de um termo para o outro. Observando os numeradores:
  • Termo 1: 2
  • Termo 2: 3
  • Termo 3: 4
  • Termo 4: 5
  • Termo 5: 6
Parece que o numerador está aumentando de 1 em 1 a cada termo. Se chamarmos o primeiro termo de n = 1, então o numerador pode ser representado por (n + 1).

Passo 3

Agora, vamos olhar para os denominadores. Observamos que eles são produtos de dois números:
  • Termo 1: 3 = 3
  • Termo 2: 2 cdot 4 = 8
  • Termo 3: 3 cdot 5 = 15
  • Termo 4: 4 cdot 6 = 24
  • Termo 5: 5 cdot 7 = 35
Aqui, o primeiro número do denominador parece ser igual ao termo anterior do numerador. Já o segundo número está sempre 2 unidades acima do primeiro número do denominador. Então, se o primeiro número é n, o segundo será (n + 2). Assim, o denominador pode ser representado por n cdot (n + 2).

Passo 4

Agora que temos expressões para o numerador e o denominador em termos de n, podemos juntar tudo para formar a fórmula geral do termo da sequência.
O numerador é (n + 1) e o denominador é n cdot (n + 2). Então, o termo geral an é:
an = n + 1n cdot (n + 2)

Resposta

A fórmula geral para o termo da sequência é:
an = n + 1n cdot (n + 2)

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