Quais dos seguintes subconjuntos de mathbb{Z}_{7}^{*} são subgrupos deste grupo (relativo à operação de multiplicação)? S=\{\overline{1}, \overline{2}, \overline{4}\}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o subconjunto S=\{\overline{1},\overline{2},\overline{4}\} é um subgrupo do grupo \mathbb{Z}_{7}^{*} quando a operação é a multiplicação módulo 7.
Informações fornecidas:
O grupo ambienta é \mathbb{Z}_{7}^{*}, cujo conjunto de elementos (unidades mod 7) é \{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6}\}.
A operação é a multiplicação em \mathbb{Z}_7: multiplica-se representantes inteiros e reduz-se módulo 7.
O subconjunto a testar é S=\{\overline{1},\overline{2},\overline{4}\}.
A pergunta: S é um subgrupo de \mathbb{Z}_7^{*} relativamente à multiplicação módulo 7?
Passo 2
Lembrete didático sobre quando uma parte H de um grupo G é subgrupo (forma prática para conjuntos finitos):
Um subconjunto H de G é subgrupo se for não vazio, contiver a identidade de G, for fechado pela operação e todo elemento de H tiver seu inverso (em G) também em H.
Para conjuntos finitos costuma bastar verificar que a identidade está em H, que H é fechado e que cada elemento tem inverso em H. Vou usar exatamente esses testes, explicando o porquê de cada um à medida que aplico.
Passo 3
Verificar identidade:
A identidade multiplicativa em \mathbb{Z}_7^{*} é \overline{1}.
Observação direta: \overline{1}\in S.
Explicação curta: a identidade precisa estar no subconjunto, porque um subgrupo deve preservar o elemento neutro do grupo original.
Passo 4
Verificar fechamento (fechar o subconjunto pela operação):
Vou calcular todos os produtos possíveis entre elementos de S, reduzidos módulo 7. Sempre que aparecer um representante inteiro, reduzo módulo 7 e escrevo o resultado como classe.
\overline{1}\cdot\overline{1}=\overline{1}.
\overline{1}\cdot\overline{2}=\overline{2}.
\overline{1}\cdot\overline{4}=\overline{4}.
\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{4} porque 2\cdot2=4 e 4\equiv4\pmod{7}.
\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{1} porque 8\equiv1\pmod{7}.
\overline{4}\cdot\overline{4}=\overline{16}=\overline{2} porque 16\equiv2\pmod{7}.
Todos os resultados são elementos de S (aparecem apenas \overline{1},\overline{2},\overline{4}). Logo S é fechado sob multiplicação módulo 7.
Breve comentário didático: fechamento significa que multiplicando quaisquer dois elementos do subconjunto não saímos dele — essencial para ser subgrupo.
Passo 5
Verificar existência de inversos dentro de S:
Inverso de \overline{1} é \overline{1} porque \overline{1}\cdot\overline{1}=\overline{1}.
Já vimos que \overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{1}. Assim o inverso de \overline{2} é \overline{4} e o inverso de \overline{4} é \overline{2}.
Portanto todos os elementos de S têm inverso em S.
Explicação extra: para verificar inversos, basta encontrar, para cada elemento a\in S, um b\in S tal que a\cdot b=\overline{1}.
Passo 6
Comentário alternativo e reforço (intuição adicional):
Observe as potências de \overline{2} em \mathbb{Z}_7^{*}: \overline{2}^{1}=\overline{2}, \overline{2}^{2}=\overline{4}, \overline{2}^{3}=\overline{8}=\overline{1}.
Isso mostra que \overline{2} tem ordem 3 e gera exatamente o conjunto \{\overline{1},\overline{2},\overline{4}\}.
Ou seja, S é o subgrupo cíclico gerado por \overline{2}, normalmente escrito \langle\overline{2}\rangle.
(Só para lembrar: em um grupo finito, o fato de um elemento ter ordem n implica que o conjunto de suas potências forma um subgrupo de ordem n.)
Passo 7
Síntese dos testes realizados:
Identidade presente em S.
S é fechado sob multiplicação módulo 7.
Cada elemento de S tem seu inverso em S.
Pelos critérios de subgrupo, S satisfaz tudo o que é necessário para ser um subgrupo de \mathbb{Z}_7^{*}.
Resposta
Sim: S=\{\overline{1},\overline{2},\overline{4}\} é um subgrupo de \mathbb{Z}_7^{*}.