Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto F subset F(R, R) formado pelas funções f tais que f(x+1)=f(x) para todo x in R.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
Fsubset F(R,R)
como sendo todas as funções f tais que
f(x+1)=f(x) para todo xinR
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e subespaços: para mostrar que F é subespaço vetorial de F(R,R), precisamos verificar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob soma.
  3. É fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero 0(x)=0 pertence a F. De fato, para todo x,
0(x+1)=0=0(x),
logo 0inF.

Passo 3

Fechadura sob soma: sejam f,ginF. Então para todo x,
(f+g)(x+1)=f(x+1)+g(x+1) =f(x)+g(x) =(f+g)(x)
Portanto f+g também satisfaz a condição de período 1, ou seja, f+ginF.

Passo 4

Fechadura sob multiplicação escalar: seja alphainR e finF. Então para todo x,
(alpha f)(x+1)=alpha,f(x+1) =alpha,f(x) =(alpha f)(x)
Logo alpha finF.

Resposta

O conjunto F é um subespaço vetorial de F(R,R).

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