Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto
formado pelas funções
tais que
para todo
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define o conjunto
como sendo todas as funções tais que
como sendo todas as funções
O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e subespaços: para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar três propriedades:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob soma.
- É fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
pertence a
. De fato, para todo
,
logo
.
Passo 3
Fechadura sob soma: sejam
. Então para todo
,
Portanto
também satisfaz a condição de período 1, ou seja,
.
Passo 4
Fechadura sob multiplicação escalar: seja
e
. Então para todo
,
Logo
.
Resposta
O conjunto
é um subespaço vetorial de
.