Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
O conjunto X \subset \mathbb{R}^{4} formado pelos vetores v=(x, y, z, t) tais que x=t e y=2 z

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
X = \{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4 \mid x = t,\; y = 2z\}
e pede para decidir se X é um subespaço vetorial de \mathbb R^4. Vamos usar a caracterização de subespaço: mostrar que o vetor zero está em X e que X é fechado em soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0) satisfaz as condições x=t e y=2z, pois 0=0 e 0=2\cdot0. Logo, 0\in X.

Passo 3

Sejam v=(x_1,y_1,z_1,t_1) e w=(x_2,y_2,z_2,t_2) em X. Então
x_1=t_1,\;y_1=2z_1 \quad\text{e}\quad x_2=t_2,\;y_2=2z_2.
Na soma v+w=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2) vemos
(x_1+x_2)=(t_1+t_2) \quad\text{e}\quad (y_1+y_2)=2(z_1+z_2),
logo v+w\in X. Para \lambda\in\mathbb R, \lambda v=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1,\lambda t_1)
satisfaz
\lambda x_1 = \lambda t_1 \quad\text{e}\quad \lambda y_1 = 2(\lambda z_1),
então \lambda v\in X. Assim, X é fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 4

Outra forma de ver X como subespaço é notar que todo vetor em X pode ser parametrizado por z e t:
(x,y,z,t) = (t,2z,z,t) = t\,(1,0,0,1) + z\,(0,2,1,0).
Isso mostra que X=\operatorname{span}\{(1,0,0,1),(0,2,1,0)\}, um subespaço de dimensão 2.

Resposta

X é subespaço vetorial de \mathbb R^4.

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