Escreva o vetor w=(-1,4,24) em \mathbb{R}^{3} como combinação linear de \mu=(2,-3,2) e v=(-1,2,4).

Passo 1

O enunciado quer escrever w=(-1,4,24) como combinação linear de \mu=(2,-3,2) e v=(-1,2,4). Isso significa encontrar escalares a e b tais que
a\,\mu + b\,v = w

Passo 2

Escrevendo a igualdade componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 2a - b = -1\\\\ -3a + 2b = 4\\\\ 2a + 4b = 24 \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações podemos resolver para a e b. Da primeira isola-se b:
b = 2a + 1
Substituindo na segunda:
-3a + 2(2a + 1) = 4
-3a + 4a + 2 = 4
Logo
a = 2
e daí
b = 2\cdot 2 + 1 = 5

Passo 4

Verificamos que esses valores satisfazem também a terceira equação:
2\cdot 2 + 4\cdot 5 = 4 + 20 = 24
Portanto o sistema é consistente e
w = 2\,\mu + 5\,v

Resposta

w = 2\,\mu + 5\,v

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