Sejam \left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base do espaço vetorial E e a_1, \ldots, a_n números reais onde pelo menos um deles é diferente de zero. Prove que o conjunto S formado pelos vetores v=x_{1} v_{1}+\ldots+x_{n} v_n onde a_1 x_{1}+\cdots a_{n} x_{n}=0 é um subespaço vetorial de E, com \operatorname{dim} S=n-1

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial E de dimensão n com base \{v_{1},\dots,v_{n}\} e escalares a_{1},\dots,a_{n}, nem todos zero. Definimos
S = \bigl\{\,v = x_{1}v_{1} + \cdots + x_{n}v_{n} \;\bigm|\; a_{1}x_{1} + \cdots + a_{n}x_{n} = 0\bigr\}.
Queremos mostrar que S é subespaço de E e que \dim S = n-1. Vamos usar o fato de que S é o núcleo de uma aplicação linear não nula em dimensão n.

Passo 2

Definimos a aplicação
f : E \;\longrightarrow\; \mathbb{R}, \qquad f\bigl(x_{1}v_{1} + \cdots + x_{n}v_{n}\bigr) = a_{1}x_{1} + \cdots + a_{n}x_{n}.
É claro que f é linear, pois soma e escalares se distribuem nos coeficientes x_i. O conjunto S coincide com o núcleo de f, isto é,
S = \ker(f) = \bigl\{\,v\in E \mid f(v)=0\bigr\}.
Como núcleo de aplicação linear, S é automaticamente um subespaço de E.

Passo 3

Como nem todos os a_i são zero, a aplicação f não é a aplicação zero. Logo \operatorname{rank}(f)=1. Pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem),
\dim E = \dim \ker(f) + \dim \operatorname{Im}(f),
isto é
n = \dim S + 1.
Daí segue \dim S = n-1.

Resposta

Mostramos que S=\ker(f) é subespaço de E e, pelo Teorema da Dimensão, \dim S=n-1.

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