Os seguintes valores foram obtidos para a constante de velocidade da reação:
\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{5} \rightleftharpoons \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}+1 / 2 \mathrm{O}_{2}
Temperatura (\mathrm{K}) \mathrm{K}(\mathrm{s}-1)
288,1 1,04 \times 10^{-5}
298,1 3,38 \times 10^{-5}
313,1 2,47 \times 10^{-4}
323,1 7,59 \times 10^{-4}
338,1 4,87 \times 10^{-3}
Usando a equação de Arrhenius determinar o fator de freqüência e a energia de ativação.

Passo 1

O enunciado fornece constantes de velocidade k para diferentes temperaturas T de uma reação em fase gasosa e pede para determinar o fator de frequência A e a energia de ativação E_a usando a equação de Arrhenius. O conteúdo é cinética química e vamos precisar da forma linearizada de Arrhenius:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R\,T},
onde R é a constante universal dos gases R = 8,314\,\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.

Passo 2

Transformamos cada par (T,k) em pontos \bigl(x,y\bigr) com
x = \frac{1}{T}, \quad y = \ln k.
Assim a relação fica y = -\tfrac{E_a}{R}\,x + \ln A, ou seja, é uma reta de coeficiente angular -E_a/R e intercepto em \ln A.

Passo 3

Calculamos 1/T e \ln k para o primeiro e o último pontos (para maximizar o intervalo e reduzir o erro):
T_1 = 288{,}1\;\mathrm{K},\quad k_1 = 1{,}04\times10^{-5}\;\mathrm{s^{-1}}
\frac{1}{T_1} = 3{,}471\times10^{-3}\;\mathrm{K^{-1}}, \quad \ln k_1 = \ln\bigl(1{,}04\times10^{-5}\bigr) = -11{,}47
T_5 = 338{,}1\;\mathrm{K},\quad k_5 = 4{,}87\times10^{-3}\;\mathrm{s^{-1}}
\frac{1}{T_5} = 2{,}959\times10^{-3}\;\mathrm{K^{-1}}, \quad \ln k_5 = \ln\bigl(4{,}87\times10^{-3}\bigr) = -5{,}32

Passo 4

Usamos esses dois pontos para obter a inclinação da reta:
\text{slope} = \frac{\ln k_5 - \ln k_1}{(1/T_5) - (1/T_1)} = \frac{-5{,}32 - (-11{,}47)}{2{,}959\times10^{-3} - 3{,}471\times10^{-3}} = \frac{6{,}15}{-0{,}000512} = -1{,}20\times10^{4}\,\mathrm{K}.
Mas sabemos que \text{slope} = -\tfrac{E_a}{R}, logo
E_a = -R\;\times\!(\text{slope}) = 8{,}314\;\mathrm{\tfrac{J}{mol\,K}}\;\times1{,}20\times10^{4}\,\mathrm{K} \approx 9,98\times10^{4}\;\mathrm{J\,mol^{-1}} = 99,8\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 5

Para encontrar A, usamos a equação linearizada em um dos pontos, por exemplo no ponto 1:
\ln A = \ln k_1 + \frac{E_a}{R\,T_1} = -11{,}47 + \frac{9,98\times10^{4}}{8{,}314 \times 288{,}1} = -11{,}47 + 41{,}70 = 30{,}23.
Portanto
A = e^{30{,}23} \approx 1,1\times10^{13}\;\mathrm{s^{-1}}.

Resposta

Energia de ativação: E_a = 99{,}8\;\mathrm{kJ\,mol^{-1}}
Fator de frequência: A = 1,1\times10^{13}\;\mathrm{s^{-1}}

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