Os seguintes valores foram obtidos para a determinação de matéria orgânica numa amostra de solo:
;
. O último valor deve ser rejeitado? E se fizermos mais três medidas o valor 3,2 deve ser aceito? 4,3%; 4,1%; 4,0%; 3,2%; 4,2%; 3,9%; 4,0%
Passo 1
O enunciado dá duas situações com medidas de teor de matéria orgânica (em porcentagem) e pergunta se o valor
deve ser rejeitado em cada caso.
Dados e perguntas:
- Primeira situação (apenas 4 medidas):
. A pergunta: o valor deve ser rejeitado? - Segunda situação (mais três medidas adicionadas, total 7):
. A pergunta: com essas 7 medidas, o valor deve ser rejeitado?
Informações relevantes que temos: as medidas (listas acima) e a necessidade de decidir sobre rejeitar um possível valor discrepante.
Passo 2
Escolha do método e explicação didática do que vamos usar.
Vou usar o critério de Chauvenet — é um critério simples e bastante usado em análises de laboratório para decidir se um valor é um outlier. É adequado aqui porque:
- O enunciado não impõe um teste específico.
- Chauvenet é básico (normalmente ensinado cedo) e dá um procedimento claro: calcular quantos desvios-padrão o valor está longe da média e comparar a probabilidade associada com uma tolerância que depende do número de observações.
O que é e como aplicar o critério de Chauvenet (aula rápida):
- Calcule a média amostral
e o desvio-padrão amostral . - Calcule o desvio padronizado (valor de
) do candidato a outlier :
Aqui
é a medida que suspeitamos ser discrepante,
é a média das
medidas e
é o desvio-padrão amostral (raiz quadrada da variância amostral).
- Determine a probabilidade bilateral de um valor ser tão extremo ou mais extremo que esse
assumindo normalidade. Chauvenet diz: aceite o valor se a probabilidade bilateral for maior ou igual a ; rejeite se for menor. Equivalentemente, calcule o limite em tal que a probabilidade de estar além desse numa cauda é ; esse é o limite crítico. - Intuição simples: quanto mais observações
, mais severo fica o critério (porque a tolerância diminui).
Fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Média amostral:
onde
é o número de medidas e
são as medidas.
- Variância amostral (estimador não-viesado):
- Desvio-padrão amostral:
- Desvio padronizado do candidato:
Vou aplicar esse procedimento primeiro ao conjunto de
e depois ao de
. Em cada passo vou mostrar as contas para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora (com arredondamentos razoáveis).
Passo 3
Aplicação do critério de Chauvenet ao primeiro conjunto (
):
.
- Calcular a média
.
- Calcular as diferenças e os quadrados (cada termo em
, as unidades ficam ):
Soma dos quadrados:
- Variância amostral e desvio-padrão:
- Desvio padronizado do candidato
:
- Determinar o limite crítico de Chauvenet para
:
- A tolerância de Chauvenet (probabilidade bilateral mínima aceitável) é
. - Isso significa que a probabilidade em cada cauda é
(ou seja, a probabilidade de exceder numa cauda é ). O valor crítico de correspondente a uma cauda de é aproximadamente (tabela normal: , e , bem próximo). - Comparação: observamos
que é menor que .
Conclusão da primeira situação: pelo critério de Chauvenet o valor
não é extremo o suficiente para ser rejeitado com
.
Passo 4
Aplicação do critério de Chauvenet ao conjunto com
:
.
- Calcular a soma e a média:
- Calcular as diferenças e os quadrados (vou mostrar cada um):
Soma dos quadrados:
- Variância amostral e desvio-padrão:
- Desvio padronizado do candidato
:
- Limite crítico de Chauvenet para
:
- A tolerância de Chauvenet é
. - Probabilidade em cada cauda é
. O correspondente a uma cauda de é aproximadamente (tabela normal: tem uma cauda de cerca de ). - Comparação: observamos
que é maior que .
Conclusão da segunda situação: com
e as outras medidas incluídas, o valor
está suficientemente afastado (aprox
desvios-padrão) para ser considerado um outlier pelo critério de Chauvenet, portanto deve ser rejeitado.
Observação final (rápida e encorajadora): a razão pela qual um mesmo número pode ser aceito num conjunto pequeno e rejeitado quando adicionamos mais medidas é que a tolerância de Chauvenet depende de
. Ao aumentar
a regra fica mais exigente (aceita menos discrepâncias), e também a média e o desvio-padrão mudam, fazendo o desvio padronizado do ponto suspeito geralmente aumentar ou diminuir — aqui aumentou o suficiente para virar outlier. Isso é normal; por isso é importante repetir medidas quando houver suspeita de valor discrepante.
Resposta
Não, com as quatro medidas (
,
,
,
) o valor
não deve ser rejeitado pelo critério de Chauvenet.
Sim, com as sete medidas ( ,
,
,
,
,
,
) o valor
deve ser rejeitado pelo critério de Chauvenet.
Sim, com as sete medidas (