Os seguintes valores foram obtidos para a determinação de matéria orgânica numa amostra de solo: 4,3 \%; 4,1 \% ; 4,0 \% ; 3,2 \%. O último valor deve ser rejeitado? E se fizermos mais três medidas o valor 3,2 deve ser aceito? 4,3%; 4,1%; 4,0%; 3,2%; 4,2%; 3,9%; 4,0%

Passo 1

O enunciado dá duas situações com medidas de teor de matéria orgânica (em porcentagem) e pergunta se o valor \,3,2\% deve ser rejeitado em cada caso.
Dados e perguntas:
  • Primeira situação (apenas 4 medidas): \,4,3\%\,; \;4,1\%\,; \;4,0\%\,; \;3,2\%. A pergunta: o valor \,3,2\% deve ser rejeitado?
  • Segunda situação (mais três medidas adicionadas, total 7): \,4,3\%\,; \;4,1\%\,; \;4,0\%\,; \;3,2\%\,; \;4,2\%\,; \;3,9\%\,; \;4,0\%. A pergunta: com essas 7 medidas, o valor \,3,2\% deve ser rejeitado?
Informações relevantes que temos: as medidas (listas acima) e a necessidade de decidir sobre rejeitar um possível valor discrepante.

Passo 2

Escolha do método e explicação didática do que vamos usar.
Vou usar o critério de Chauvenet — é um critério simples e bastante usado em análises de laboratório para decidir se um valor é um outlier. É adequado aqui porque:
  • O enunciado não impõe um teste específico.
  • Chauvenet é básico (normalmente ensinado cedo) e dá um procedimento claro: calcular quantos desvios-padrão o valor está longe da média e comparar a probabilidade associada com uma tolerância que depende do número de observações.
O que é e como aplicar o critério de Chauvenet (aula rápida):
  • Calcule a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s.
  • Calcule o desvio padronizado (valor de z) do candidato a outlier \,x_i:
z=\frac{|x_i-\bar{x}|}{s}.
Aqui x_i é a medida que suspeitamos ser discrepante, \bar{x} é a média das n medidas e s é o desvio-padrão amostral (raiz quadrada da variância amostral).
  • Determine a probabilidade bilateral de um valor ser tão extremo ou mais extremo que esse z assumindo normalidade. Chauvenet diz: aceite o valor se a probabilidade bilateral for maior ou igual a 1/(2n); rejeite se for menor. Equivalentemente, calcule o limite em z tal que a probabilidade de estar além desse z numa cauda é 1/(2n); esse z é o limite crítico.
  • Intuição simples: quanto mais observações n, mais severo fica o critério (porque a tolerância 1/(2n) diminui).
Fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} x_j,
onde n é o número de medidas e x_j são as medidas.
  • Variância amostral (estimador não-viesado):
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{j=1}^{n}(x_j-\bar{x})^{2},
  • Desvio-padrão amostral:
s=\sqrt{s^{2}}.
  • Desvio padronizado do candidato:
z=\frac{|x_i-\bar{x}|}{s}.
Vou aplicar esse procedimento primeiro ao conjunto de n=4 e depois ao de n=7. Em cada passo vou mostrar as contas para que você consiga reproduzir na prova sem calculadora (com arredondamentos razoáveis).

Passo 3

Aplicação do critério de Chauvenet ao primeiro conjunto ( n=4): \,4,3\%\,; \;4,1\%\,; \;4,0\%\,; \;3,2\%.
  1. Calcular a média \bar{x}.
\sum x_j = 4,3 + 4,1 + 4,0 + 3,2 = 15,6
\bar{x}=\frac{15,6}{4}=3,9\%
  1. Calcular as diferenças e os quadrados (cada termo em \%, as unidades ficam \%^{2}):
4,3-3,9=0,4,\quad (0,4)^{2}=0,16
4,1-3,9=0,2,\quad (0,2)^{2}=0,04
4,0-3,9=0,1,\quad (0,1)^{2}=0,01
3,2-3,9=-0,7,\quad (-0,7)^{2}=0,49
Soma dos quadrados:
\sum (x_j-\bar{x})^{2}=0,16+0,04+0,01+0,49=0,70
  1. Variância amostral e desvio-padrão:
s^{2}=\frac{0,70}{n-1}=\frac{0,70}{3}=0,2333\ldots
s=\sqrt{0,2333\ldots}\approx 0,483\%
  1. Desvio padronizado do candidato x_i=3,2\%:
z=\frac{|3,2-3,9|}{0,483}=\frac{0,7}{0,483}\approx 1,45.
  1. Determinar o limite crítico de Chauvenet para n=4:
  • A tolerância de Chauvenet (probabilidade bilateral mínima aceitável) é 1/(2n)=1/8=0,125.
  • Isso significa que a probabilidade em cada cauda é 0,125/2=0,0625 (ou seja, a probabilidade de exceder z numa cauda é 0,0625). O valor crítico de z correspondente a uma cauda de 0,0625 é aproximadamente z_{\text{crit}}\approx 1,53 (tabela normal: \Phi(1,53)\approx 0,937, e 1-0,937=0,063, bem próximo).
  • Comparação: observamos z\approx 1,45 que é menor que z_{\text{crit}}\approx 1,53.
Conclusão da primeira situação: pelo critério de Chauvenet o valor \,3,2\% não é extremo o suficiente para ser rejeitado com n=4.

Passo 4

Aplicação do critério de Chauvenet ao conjunto com n=7: \,4,3\%\,; \;4,1\%\,; \;4,0\%\,; \;3,2\%\,; \;4,2\%\,; \;3,9\%\,; \;4,0\%.
  1. Calcular a soma e a média:
\sum x_j = 4,3+4,1+4,0+3,2+4,2+3,9+4,0 = 27,7
\bar{x}=\frac{27,7}{7}\approx 3,9571429\% \quad(\text{aprox }3,957\%)
  1. Calcular as diferenças e os quadrados (vou mostrar cada um):
4,3-\bar{x}=0,3428571,\quad (0,3428571)^{2}\approx 0,117548
4,1-\bar{x}=0,1428571,\quad (0,1428571)^{2}\approx 0,020408
4,0-\bar{x}=0,0428571,\quad (0,0428571)^{2}\approx 0,001837
3,2-\bar{x}=-0,7571429,\quad (-0,7571429)^{2}\approx 0,573264
4,2-\bar{x}=0,2428571,\quad (0,2428571)^{2}\approx 0,058992
3,9-\bar{x}=-0,0571429,\quad (-0,0571429)^{2}\approx 0,003265
4,0-\bar{x}=0,0428571,\quad (0,0428571)^{2}\approx 0,001837
Soma dos quadrados:
\sum (x_j-\bar{x})^{2}\approx 0,117548+0,020408+0,001837+0,573264+0,058992+0,003265+0,001837\approx 0,777151
  1. Variância amostral e desvio-padrão:
s^{2}=\frac{0,777151}{n-1}=\frac{0,777151}{6}\approx 0,129525
s=\sqrt{0,129525}\approx 0,360\%
  1. Desvio padronizado do candidato x_i=3,2\%:
z=\frac{|3,2-3,9571429|}{0,360}=\frac{0,7571429}{0,360}\approx 2,10.
  1. Limite crítico de Chauvenet para n=7:
  • A tolerância de Chauvenet é 1/(2n)=1/14\approx 0,0714286.
  • Probabilidade em cada cauda é 0,0714286/2=0,0357143. O z correspondente a uma cauda de 0,0357143 é aproximadamente z_{\text{crit}}\approx 1,80 (tabela normal: 1,80 tem uma cauda de cerca de 0,0359).
  • Comparação: observamos z\approx 2,10 que é maior que z_{\text{crit}}\approx 1,80.
Conclusão da segunda situação: com n=7 e as outras medidas incluídas, o valor \,3,2\% está suficientemente afastado (aprox 2,10 desvios-padrão) para ser considerado um outlier pelo critério de Chauvenet, portanto deve ser rejeitado.
Observação final (rápida e encorajadora): a razão pela qual um mesmo número pode ser aceito num conjunto pequeno e rejeitado quando adicionamos mais medidas é que a tolerância de Chauvenet depende de n. Ao aumentar n a regra fica mais exigente (aceita menos discrepâncias), e também a média e o desvio-padrão mudam, fazendo o desvio padronizado do ponto suspeito geralmente aumentar ou diminuir — aqui aumentou o suficiente para virar outlier. Isso é normal; por isso é importante repetir medidas quando houver suspeita de valor discrepante.

Resposta

Não, com as quatro medidas ( 4,3\%, 4,1\%, 4,0\%, 3,2\%) o valor 3,2\% não deve ser rejeitado pelo critério de Chauvenet.
Sim, com as sete medidas ( 4,3\%, 4,1\%, 4,0\%, 3,2\%, 4,2\%, 3,9\%, 4,0\%) o valor 3,2\% deve ser rejeitado pelo critério de Chauvenet.

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