A seguir, verifique que a função
é solução da equação diferencial
.
Função:
Função:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se verificar que a função
é solução da equação diferencial ). - Foi dada a função
. - Foi dada a EDO
, ou seja, aqui .
Portanto a tarefa é mostrar que, ao substituirna EDO, a igualdade vale para todo .
Passo 2
O que significa ser solução (explicação didática):
- Uma função
é solução da EDO ) se: -
for duas vezes derivável no intervalo considerado (aqui todo ); e - a igualdade dada pela EDO for satisfeita para todo
nesse intervalo, isto é, a segunda derivada de deve ser igual à expressão avaliada em .
-
- Então vou calcular
e e comparar com .
Passo 3
Cálculo da primeira derivada (regra usada e explicação):
- Regra: a derivada de
é . Isso vem da definição limite da derivada para funções trigonométricas; aqui aceitamos a fórmula padrão usada na prova. - Aplicando:
- Interpretação simples: a taxa de variação instantânea de
é .
Passo 4
Cálculo da segunda derivada (regra usada e explicação):
- Regra: a derivada de
é . - Aplicando à primeira derivada:
- Portanto a segunda derivada de
é .
Passo 5
Avaliação do membro direito
:
- Pelo enunciado,
. - Substituindo
obtemos:
Passo 6
Comparação e conclusão:
- Encontramos
(Passo 4) e (Passo 5). - Como as duas expressões são iguais para todo
, tem-se para todo . - Além disso
é duas vezes derivável em todo , logo todas as hipóteses para ser solução estão satisfeitas.