A seguir, verifique que a função mathcal{Y}(t) é solução da equação diferencial y^{\prime \prime}(t)=f\left(t, y(t), y^{\prime}(t)\right).
Função: y(t)=\operatorname{sen}(\mathrm{t}), \quad \mathrm{EDO}: y^{\prime \prime}(t)=-y(t), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se verificar que a função \mathcal{Y}(t) é solução da equação diferencial \,y''(t)=f\big(t,y(t),y'(t)).
  • Foi dada a função \mathcal{Y}(t)=y(t)=\sin(t).
  • Foi dada a EDO \,y''(t)=-y(t), ou seja, aqui f\big(t,y,y'\big)=-y.
    Portanto a tarefa é mostrar que, ao substituir \mathcal{Y}(t)=\sin(t) na EDO, a igualdade \,y''(t)=-y(t) vale para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

O que significa ser solução (explicação didática):
  • Uma função y(t) é solução da EDO \,y''(t)=f\big(t,y(t),y'(t)) se:
    1. y for duas vezes derivável no intervalo considerado (aqui todo \mathbb{R}); e
    2. a igualdade dada pela EDO for satisfeita para todo t nesse intervalo, isto é, a segunda derivada de y deve ser igual à expressão f avaliada em (t,y(t),y'(t)).
  • Então vou calcular y'(t) e y''(t) e comparar com f\big(t,y(t),y'(t)\big)=-y(t).

Passo 3

Cálculo da primeira derivada (regra usada e explicação):
  • Regra: a derivada de \sin(t) é \cos(t). Isso vem da definição limite da derivada para funções trigonométricas; aqui aceitamos a fórmula padrão usada na prova.
  • Aplicando: y(t)=\sin(t) \quad\Rightarrow\quad y'(t)=\cos(t).
  • Interpretação simples: a taxa de variação instantânea de \sin(t) é \cos(t).

Passo 4

Cálculo da segunda derivada (regra usada e explicação):
  • Regra: a derivada de \cos(t) é -\sin(t).
  • Aplicando à primeira derivada: y'(t)=\cos(t)\quad\Rightarrow\quad y''(t)=\frac{d}{dt}\big(\cos(t)\big)=-\sin(t).
  • Portanto a segunda derivada de y é -\sin(t).

Passo 5

Avaliação do membro direito f\big(t,y(t),y'(t)\big):
  • Pelo enunciado, f\big(t,y,y'\big)=-y.
  • Substituindo y(t)=\sin(t) obtemos: f\big(t,y(t),y'(t)\big)=-y(t)=-\sin(t).

Passo 6

Comparação e conclusão:
  • Encontramos y''(t)=-\sin(t) (Passo 4) e f\big(t,y(t),y'(t)\big)=-\sin(t) (Passo 5).
  • Como as duas expressões são iguais para todo t\in\mathbb{R}, tem-se y''(t)=f\big(t,y(t),y'(t)\big)para todo t\in\mathbb{R}.
  • Além disso y(t)=\sin(t) é duas vezes derivável em todo \mathbb{R}, logo todas as hipóteses para ser solução estão satisfeitas.

Resposta

\mathcal{Y}(t)=\sin(t) é solução da equação diferencial y''(t)=-y(t) para todo t\in\mathbb{R}.

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