A seguir, verifique que a função mathcal{Y}(t) é solução da equação diferencial y^{\prime \prime}(t)=f\left(t, y(t), y^{\prime}(t)\right).
Função: y(t)=e^{3 t}, \quad \quad EDO: y^{\prime \prime}(t)=9 y(t), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede verificar se a função \mathcal{Y}(t) é solução da equação diferencial
y''(t)=9\,y(t),\qquad t\in\mathbb{R}.
  • A função fornecida é \mathcal{Y}(t)=e^{3t}.
Vou, portanto, calcular as derivadas de \mathcal{Y}(t) e substituir na EDO para ver se a igualdade é satisfeita para todo t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Lembrete rápido (regra que vou usar): a derivada de uma exponencial composta. Se u(t) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dt}e^{u(t)} = u'(t)\,e^{u(t)}.
Aqui u(t)=3t, então u'(t)=3. Essa é a aplicação direta da regra da cadeia (derivar a função exterior e^{\cdot} e multiplicar pela derivada do expoente).

Passo 3

Calcular a primeira derivada de \mathcal{Y}(t):
\mathcal{Y}(t)=e^{3t}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{Y}'(t)=\frac{d}{dt}e^{3t}=3\,e^{3t}.
Explicando passo a passo: derivei o expoente 3t — que dá 3 — e multipliquei por e^{3t}, conforme a fórmula do Passo 2.

Passo 4

Calcular a segunda derivada (derivada da derivada):
\mathcal{Y}''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3\,e^{3t}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dt}e^{3t}=3\cdot(3\,e^{3t})=9\,e^{3t}.
Aqui usei novamente a mesma regra: a derivada de e^{3t} é 3e^{3t}, e havia um fator 3 multiplicando.

Passo 5

Substituir \mathcal{Y}(t) e \mathcal{Y}''(t) na EDO e verificar a igualdade:
\mathcal{Y}''(t)=9\,e^{3t}, \qquad 9\,\mathcal{Y}(t)=9\cdot e^{3t}=9\,e^{3t}.
Como os dois lados coincidem para todo t\in\mathbb{R}, a função satisfaz a equação diferencial.

Passo 6

Interpretação prática para a prova: para verificar se uma função é solução de uma EDO, sempre calcule as derivadas necessárias (aplicando regras como a regra da cadeia) e faça a substituição direta; se a igualdade da EDO for verdadeira para todo t no domínio, então é solução. Aqui o cálculo foi direto e não exigiu condições iniciais.

Resposta

Sim: \mathcal{Y}(t)=e^{3t} é solução, pois \mathcal{Y}''(t)=9\,e^{3t}=9\,\mathcal{Y}(t) para todo t\in\mathbb{R}.

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