A seguir estão os tempos de espera, em minutos, para atendimento no caixa de 18 clientes de uma agência bancária:
96121161231269581356487
Determine a média, mediana, variância, o desvio-padrão e coeficiente de variação. Interprete os resultados.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos de espera (em minutos) de 18 clientes, juntos na sequência: 96121161231269581356487. A tarefa é determinar:
  • a média;
  • a mediana;
  • a variância;
  • o desvio-padrão;
  • o coeficiente de variação;
    e interpretar os resultados.
Vou primeiro transformar a sequência em uma lista de observações (cada valor é um tempo em minutos). Extraindo os valores da sequência obtemos os 18 tempos:
9,\;6,\;12,\;11,\;6,\;12,\;3,\;12,\;6,\;9,\;5,\;8,\;13,\;5,\;6,\;4,\;8,\;7.
Esses são os dados que usarei nos passos seguintes.

Passo 2

Cálculo da média aritmética (explicação do conceito e fórmula).
A média aritmética \bar{x} de n observações x_1,\dots,x_n é a soma das observações dividida por n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui n=18. Primeiro somo todas as observações:
\sum_{i=1}^{18} x_i = 9+6+12+11+6+12+3+12+6+9+5+8+13+5+6+4+8+7 = 142.
Então a média é
\bar{x}=\frac{142}{18}=\frac{71}{9}\approx 7,8889.
Interpretação rápida: em média, os clientes esperaram cerca de 7,9 minutos.

Passo 3

Cálculo da mediana (explicação do conceito e procedimento).
A mediana é o valor central dos dados ordenados. Passos:
  1. Ordenar os dados em ordem crescente:
3,\;4,\;5,\;5,\;6,\;6,\;6,\;6,\;7,\;8,\;8,\;9,\;9,\;11,\;12,\;12,\;12,\;13.
  1. Como n=18 é par, a mediana é a média dos elementos de índices n/2=9 e n/2+1=10 (na ordem crescente), ou seja do 9.º e do 10.º valores.
  2. O 9.º valor é 7 e o 10.º é 8. Logo
\text{mediana}=\frac{7+8}{2}=7{,}5.
Interpretação rápida: metade dos clientes esperou até 7{,}5 minutos.

Passo 4

Escolha da definição de variância e explicação.
Há duas fórmulas comuns para variância:
  • variância populacional (dividir por n);
  • variância amostral (dividir por n-1), usada quando os dados representam uma amostra de uma população e se quer estimar a variância populacional.
    Aqui interpreto os 18 tempos como uma amostra de atendimentos, então vou usar a variância amostral s^2 (denominador n-1). A fórmula é:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média calculada no Passo 2.
Cálculo prático (maneira que dá para fazer sem calculadora pesada).
Para evitar acumular muitos arredondamentos usei um truque algébrico: note que, com \bar{x}=\dfrac{71}{9}, cada termo (x_i-\bar{x})^2 pode ser escrito como \dfrac{(9x_i-71)^2}{81}. Calculando todos esses quadrados e somando obtém-se
\sum_{i=1}^{18} (x_i-\bar{x})^2 = \frac{12942}{81}=159{,}777777\ldots
Agora aplico a fórmula da variância amostral com n-1=17:
s^2 = \frac{159{,}777777\ldots}{17}=\frac{1438}{153}\approx 9{,}3987.
Interpretação do valor: a variância tem unidade minutos ao quadrado; um número maior indica maior dispersão dos tempos em torno da média.

Passo 5

Cálculo do desvio-padrão (explicação).
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (aqui, minutos). Para a variância amostral s^2 usamos:
s=\sqrt{s^2}.
Com s^2\approx 9{,}3987 temos
s\approx \sqrt{9{,}3987}\approx 3{,}0661\\ \text{minutos}.
Interpretação: um desvio-padrão de cerca de 3{,}07 minutos indica que, tipicamente, os tempos se afastam da média por aproximadamente esse valor.

Passo 6

Cálculo do coeficiente de variação (explicação).
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão: razão entre o desvio-padrão e a média. Costuma-se expressá-lo em porcentagem:
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores:
\text{CV}\approx \frac{3{,}0661}{7{,}8889}\times100\%\approx 38{,}87\%.
Interpretação: o desvio-padrão representa cerca de 38{,}9\% da média — isto é, há variabilidade moderada/considerável relativa ao tempo médio de espera.

Passo 7

Interpretação geral e observações práticas (resumo intuitivo).
  • Média \bar{x}\approx 7{,}8889 min e mediana 7{,}5 min: a média é ligeiramente maior que a mediana, o que indica uma leve assimetria à direita (alguns tempos maiores puxam a média para cima).
  • Desvio-padrão s\approx 3{,}0661 min: um cliente típico difere da média em cerca de 3 minutos; portanto muitos tempos estarão entre \bar{x}\pm s, isto é aproximadamente entre 4{,}82 e 10{,}95 minutos.
  • Variância s^2\approx 9{,}3987 min ^2: dá a medida quadrática da dispersão.
  • Coeficiente de variação \text{CV}\approx 38{,}87\%: indica dispersão relativa moderada — a variabilidade dos tempos é relevante comparada com a média (não é desprezível).
  • Observação prática: os tempos variam de 3 até 13 minutos; a maioria está próxima de 6 9 minutos, mas há alguns valores mais altos ( 11,12,13) que aumentam a média.
Força aí — já temos todos os números e a interpretação: dá para usar isso na prova e explicar o que cada medida diz sobre os tempos de espera.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{142}{18}=\dfrac{71}{9}\approx 7{,}8889\\ \text{min}
\text{mediana}=7{,}5\\ \text{min}
s^2=\dfrac{1438}{153}\approx 9{,}3987\\ \text{min}^2
s\approx 3{,}0661\\ \text{min}
\text{CV}\approx 38{,}87\%

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