A seguir estão os tempos de espera, em minutos, para atendimento no caixa de 18 clientes de uma agência bancária:
96121161231269581356487
Determine a média, mediana, variância, o desvio-padrão e coeficiente de variação. Interprete os resultados.
Passo 1
O enunciado fornece os tempos de espera (em minutos) de 18 clientes, juntos na sequência:
. A tarefa é determinar:
- a média;
- a mediana;
- a variância;
- o desvio-padrão;
- o coeficiente de variação;
e interpretar os resultados.
Vou primeiro transformar a sequência em uma lista de observações (cada valor é um tempo em minutos). Extraindo os valores da sequência obtemos os 18 tempos:
Esses são os dados que usarei nos passos seguintes.
Passo 2
Cálculo da média aritmética (explicação do conceito e fórmula).
A média aritmética de
observações
é a soma das observações dividida por
:
A média aritmética
Aqui
. Primeiro somo todas as observações:
Então a média é
Interpretação rápida: em média, os clientes esperaram cerca de
minutos.
Passo 3
Cálculo da mediana (explicação do conceito e procedimento).
A mediana é o valor central dos dados ordenados. Passos:
A mediana é o valor central dos dados ordenados. Passos:
- Ordenar os dados em ordem crescente:
- Como
é par, a mediana é a média dos elementos de índices e (na ordem crescente), ou seja do 9.º e do 10.º valores. - O 9.º valor é
e o 10.º é . Logo
Interpretação rápida: metade dos clientes esperou até
minutos.
Passo 4
Escolha da definição de variância e explicação.
Há duas fórmulas comuns para variância:
Há duas fórmulas comuns para variância:
- variância populacional (dividir por
); - variância amostral (dividir por
), usada quando os dados representam uma amostra de uma população e se quer estimar a variância populacional.
Aqui interpreto os 18 tempos como uma amostra de atendimentos, então vou usar a variância amostral(denominador ). A fórmula é:
onde
é a média calculada no Passo 2.
Cálculo prático (maneira que dá para fazer sem calculadora pesada).
Para evitar acumular muitos arredondamentos usei um truque algébrico: note que, com , cada termo
pode ser escrito como
. Calculando todos esses quadrados e somando obtém-se
Para evitar acumular muitos arredondamentos usei um truque algébrico: note que, com
Agora aplico a fórmula da variância amostral com
:
Interpretação do valor: a variância tem unidade minutos ao quadrado; um número maior indica maior dispersão dos tempos em torno da média.
Passo 5
Cálculo do desvio-padrão (explicação).
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (aqui, minutos). Para a variância amostral usamos:
O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância e tem as mesmas unidades dos dados (aqui, minutos). Para a variância amostral
Com
temos
Interpretação: um desvio-padrão de cerca de
minutos indica que, tipicamente, os tempos se afastam da média por aproximadamente esse valor.
Passo 6
Cálculo do coeficiente de variação (explicação).
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão: razão entre o desvio-padrão e a média. Costuma-se expressá-lo em porcentagem:
O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão: razão entre o desvio-padrão e a média. Costuma-se expressá-lo em porcentagem:
Substituindo os valores:
Interpretação: o desvio-padrão representa cerca de
da média — isto é, há variabilidade moderada/considerável relativa ao tempo médio de espera.
Passo 7
Interpretação geral e observações práticas (resumo intuitivo).
- Média
min e mediana min: a média é ligeiramente maior que a mediana, o que indica uma leve assimetria à direita (alguns tempos maiores puxam a média para cima). - Desvio-padrão
min: um cliente típico difere da média em cerca de minutos; portanto muitos tempos estarão entre , isto é aproximadamente entre e minutos. - Variância
min : dá a medida quadrática da dispersão. - Coeficiente de variação
: indica dispersão relativa moderada — a variabilidade dos tempos é relevante comparada com a média (não é desprezível). - Observação prática: os tempos variam de
até minutos; a maioria está próxima de – minutos, mas há alguns valores mais altos ( ) que aumentam a média.
Força aí — já temos todos os números e a interpretação: dá para usar isso na prova e explicar o que cada medida diz sobre os tempos de espera.