Os dados a seguir referem-se a uma amostra dos salários recebidos em uma determinada empresa. Determine o coeficiente de assimetria e interprete.
8309209201020110011501300134026002950

Passo 1

O enunciado dá uma amostra dos salários e pede para determinar o coeficiente de assimetria e interpretá-lo. Peguei os valores fornecidos no enunciado e interpretei-os como uma lista de dez salários (os números estavam colados, então separei em valores plausíveis). Os dados são:
830,\;920,\;920,\;1020,\;1100,\;1150,\;1300,\;1340,\;2600,\;2950.
As informações relevantes:
  • Tamanho da amostra: \,n=10.
  • Pede-se: calcular o coeficiente de assimetria (uma medida de assimetria da distribuição) e interpretar o resultado.

Passo 2

Vou usar o coeficiente de assimetria de Pearson (segunda forma), que é simples e muito usado em estatística descritiva escolar. A fórmula é
\text{Sk} \;=\; 3\cdot\frac{\bar{x}-\text{mediana}}{s},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral,
  • \text{mediana} é a mediana da amostra,
  • s é o desvio-padrão amostral (usarei a definição com divisor n-1, pois é a definição usual para estimativa amostral do desvio).
Observação: existe também o coeficiente de assimetria baseado no terceiro momento (mais “puro” teoricamente), mas a fórmula de Pearson é mais simples de calcular à mão e suficiente para interpretar a direção e o grau da assimetria na prova.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{x}. Primeiro a soma dos valores:
\sum x_i = 830+920+920+1020+1100+1150+1300+1340+2600+2950 = 14130.
Portanto a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i=\frac{14130}{10}=1413.

Passo 4

Calcular a mediana. Como n=10 é par, a mediana é a média dos termos 5º e 6º quando os dados estão ordenados. Os dados já ordenados são
830,\;920,\;920,\;1020,\;1100,\;1150,\;1300,\;1340,\;2600,\;2950.
Os elementos 5º e 6º são 1100 e 1150. Logo a mediana é
\text{mediana}=\frac{1100+1150}{2}=\frac{2250}{2}=1125.

Passo 5

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro calcule as diferenças (x_i-\bar{x}) e seus quadrados (x_i-\bar{x})^2. Listei-os e somei (peguei \bar{x}=1413 do Passo 3):
\begin{array}{ll} x_1=830: & x_1-\bar{x}=830-1413=-583,\quad (x_1-\bar{x})^2=339889;\\[2pt] x_2=920: & x_2-\bar{x}=920-1413=-493,\quad (x_2-\bar{x})^2=243049;\\[2pt] x_3=920: & x_3-\bar{x}=-493,\quad (x_3-\bar{x})^2=243049;\\[2pt] x_4=1020:& x_4-\bar{x}=1020-1413=-393,\quad (x_4-\bar{x})^2=154449;\\[2pt] x_5=1100:& x_5-\bar{x}=1100-1413=-313,\quad (x_5-\bar{x})^2=97969;\\[2pt] x_6=1150:& x_6-\bar{x}=1150-1413=-263,\quad (x_6-\bar{x})^2=69169;\\[2pt] x_7=1300:& x_7-\bar{x}=1300-1413=-113,\quad (x_7-\bar{x})^2=12769;\\[2pt] x_8=1340:& x_8-\bar{x}=1340-1413=-73,\quad (x_8-\bar{x})^2=5329;\\[2pt] x_9=2600:& x_9-\bar{x}=2600-1413=1187,\quad (x_9-\bar{x})^2=1408969;\\[2pt] x_{10}=2950:& x_{10}-\bar{x}=2950-1413=1537,\quad (x_{10}-\bar{x})^2=2362369.\\\ \end{array}
Agora a soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 4937010.
(O valor acima foi obtido somando os termos listados: 339889+243049+243049+154449+97969+69169+12769+5329+1408969+2362369=4937010.)
A variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{4937010}{9}=548556,\overline{6}.
Portanto o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{548556,\overline{6}}\approx 740{,}646.]

Passo 6

Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson:
\text{Sk}=3\cdot\frac{\bar{x}-\text{mediana}}{s}.
Substituindo \bar{x}=1413, \text{mediana}=1125 e s\approx740{,}646:
\bar{x}-\text{mediana}=1413-1125=288,
\text{Sk}=3\cdot\frac{288}{740{,}646}\approx\frac{864}{740{,}646}\approx 1{,}167.

Passo 7

Interpretação didática e amigável:
  • O coeficiente de assimetria ficou positivo, \text{Sk}\approx1{,}167>0. Isso significa que a distribuição dos salários é assimétrica à direita (ou “com cauda à direita”): há alguns salários bem maiores que a maioria (os valores 2600 e 2950 empurram a média para cima).
  • Em termos de intensidade, \text{Sk}\approx1{,}167 indica uma assimetria moderada a forte para a direita (valores próximos de zero indicariam simetria; valores maiores que 1 normalmente dizem que a assimetria é pronunciada).
  • Conclusão prática: a presença de poucos salários altos faz com que a média seja maior que a mediana; portanto, ao resumir a remuneração típica, a mediana (que é menor) pode ser mais representativa do “salário típico” do que a média.

Resposta

\text{Coeficiente de assimetria (Pearson)}\approx 1{,}167
Assimetria positiva (distribuição sesgada à direita; cauda longa à direita).

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