Os dados a seguir referem-se a uma amostra dos salários recebidos em uma determinada empresa. Determine o coeficiente de assimetria e interprete.
8309209201020110011501300134026002950
8309209201020110011501300134026002950
Passo 1
O enunciado dá uma amostra dos salários e pede para determinar o coeficiente de assimetria e interpretá-lo. Peguei os valores fornecidos no enunciado e interpretei-os como uma lista de dez salários (os números estavam colados, então separei em valores plausíveis). Os dados são:
As informações relevantes:
- Tamanho da amostra:
. - Pede-se: calcular o coeficiente de assimetria (uma medida de assimetria da distribuição) e interpretar o resultado.
Passo 2
Vou usar o coeficiente de assimetria de Pearson (segunda forma), que é simples e muito usado em estatística descritiva escolar. A fórmula é
onde:
-
é a média amostral, -
é a mediana da amostra, -
é o desvio-padrão amostral (usarei a definição com divisor , pois é a definição usual para estimativa amostral do desvio).
Observação: existe também o coeficiente de assimetria baseado no terceiro momento (mais “puro” teoricamente), mas a fórmula de Pearson é mais simples de calcular à mão e suficiente para interpretar a direção e o grau da assimetria na prova.
Passo 3
Calcular a média amostral
. Primeiro a soma dos valores:
Portanto a média é
Passo 4
Calcular a mediana. Como
é par, a mediana é a média dos termos
º e
º quando os dados estão ordenados. Os dados já ordenados são
Os elementos
º e
º são
e
. Logo a mediana é
Passo 5
Calcular o desvio-padrão amostral
. Primeiro calcule as diferenças
e seus quadrados
. Listei-os e somei (peguei
do Passo 3):
Agora a soma dos quadrados das diferenças:
(O valor acima foi obtido somando os termos listados:
.)
A variância amostral é
Portanto o desvio-padrão amostral é
Passo 6
Calcular o coeficiente de assimetria de Pearson:
Substituindo
,
e
:
Passo 7
Interpretação didática e amigável:
- O coeficiente de assimetria ficou positivo,
. Isso significa que a distribuição dos salários é assimétrica à direita (ou “com cauda à direita”): há alguns salários bem maiores que a maioria (os valores e empurram a média para cima). - Em termos de intensidade,
indica uma assimetria moderada a forte para a direita (valores próximos de zero indicariam simetria; valores maiores que normalmente dizem que a assimetria é pronunciada). - Conclusão prática: a presença de poucos salários altos faz com que a média seja maior que a mediana; portanto, ao resumir a remuneração típica, a mediana (que é menor) pode ser mais representativa do “salário típico” do que a média.
Resposta
Assimetria positiva (distribuição sesgada à direita; cauda longa à direita).