A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas (em pontos) obtidas num teste de matemática, realizado por 50 estudantes.
Notas
4
12
15
13
6
Apresente o cálculo para todas as medidas de dispersão estudadas (variância, desvio-padrão, amplitude, coeficiente de variação) e as interprete.
| Notas |
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4 |
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12 |
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15 |
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13 |
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6 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de frequências das notas (em pontos) de
estudantes organizada em classes; pede para calcular todas as medidas de dispersão: variância, desvio-padrão, amplitude (range) e coeficiente de variação, e interpretá‑las.
Informações fornecidas (peguei diretamente a tabela do enunciado):
- Classes de notas e frequências absolutas
: -
- Tamanho total da amostra:
.
O que preciso entregar:
- Cálculo da média (necessária para variância e desvio-padrão),
- Variância (vou calcular a variância populacional
, justificando; menciono também a fórmula da variância amostral caso precise), - Desvio-padrão
, - Amplitude (range),
- Coeficiente de variação (
), - Interpretações curtas de cada medida.
Passo 2
Vamos transformar as classes em valores representativos: para dados agrupados usamos o ponto médio de cada classe (marco de classe) como valor
.
Cálculo dos pontos médios:
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Agora calculamos a média aritmética ponderada pelas frequências. A fórmula para a média de dados agrupados é
onde
é a frequência da
-ésima classe,
é o ponto médio dessa classe e
.
Computei os produtos
:
Soma:
.
Logo,
Interpretação curta da média: a nota média (esperada) da turma é
pontos.
Passo 3
Agora a variância. Primeiro explico as duas versões possívelmente usadas:
- Variância populacional (quando os
observados representam toda a população considerada): use
- Variância amostral (quando os dados são uma amostra e queremos estimar a variância da população): use
Aqui os dados são as notas dos
estudantes (a tabela apresenta toda a amostra observada), por isso vou calcular a variância populacional
. Se for preciso um estimador amostral, explico o valor no final.
Vamos calcular os termos
e os produtos
.
Primeiro os desvios
e seus quadrados:
Agora multiplico por
:
Somando:
Variância populacional:
Interpretação da variância:
(unidade: pontos ao quadrado) quantifica a dispersão média ao quadrado das notas em relação à média. Valores maiores indicam maior dispersão.
Observação prática: se precisarmos do estimador amostral (por exemplo para inferência), usaríamos
Vou manter a variância populacional como resposta principal, mas deixei aqui o valor amostral para referência.
Passo 4
Desvio-padrão: é a raiz quadrada da variância e tem a mesma unidade das observações (pontos), o que facilita interpretação. Fórmula:
Interpretação do desvio-padrão: em média, as notas desviam da média cerca de
pontos. Isso dá uma ideia direta de quão espalhadas estão as notas.
Se usássemos a variância amostral
, o desvio amostral seria
(apenas para comparação).
Passo 5
Amplitude (range): é a diferença entre o maior e o menor valor observados. Pela tabela as classes extremas vão de
até
, logo
Interpretação da amplitude: a nota máxima possível observada é
e a mínima é
, então o intervalo total de variação das notas é
pontos. A amplitude é simples, mas sensível a valores extremos (outliers).
Passo 6
Coeficiente de variação (CV): é a razão entre o desvio-padrão e a média, normalmente expressa em porcentagem; mede a dispersão relativa (permite comparar dispersões de conjuntos com médias diferentes). Fórmula:
Substituindo os valores:
Interpretação do CV: o desvio-padrão é cerca de
da média, ou seja, existe uma dispersão relativamente alta em relação ao valor médio das notas — as notas estão bem espalhadas comparadas ao nível médio.
Passo 7
Breve resumo das interpretações (rápido e motivador):
- Média
: nota média moderada. - Variância
e desvio-padrão : variabilidade das notas é não desprezível (desvio ~2,27 pontos). - Amplitude
: existiram notas desde até (faixa total grande). - CV
: dispersão relativa alta — a turma é heterogênea nas notas.
Força: com esses números dá para concluir que há heterogeneidade razoável na turma; se quiser, dá para analisar mais (assimetria, percentis, etc.), mas já temos as medidas de dispersão pedidas.