A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas (em pontos) obtidas num teste de matemática, realizado por 50 estudantes.
Notas F i
0 \mid-2 4
2 \mid-4 12
4 \mid-6 15
6 \mid-8 13
8 \mid-10 6
Apresente o cálculo para todas as medidas de dispersão estudadas (variância, desvio-padrão, amplitude, coeficiente de variação) e as interprete.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de frequências das notas (em pontos) de 50 estudantes organizada em classes; pede para calcular todas as medidas de dispersão: variância, desvio-padrão, amplitude (range) e coeficiente de variação, e interpretá‑las.
Informações fornecidas (peguei diretamente a tabela do enunciado):
  • Classes de notas e frequências absolutas F_i:
    • 0\!-\!2:\;F_1=4
    • 2\!-\!4:\;F_2=12
    • 4\!-\!6:\;F_3=15
    • 6\!-\!8:\;F_4=13
    • 8\!-\!10:\;F_5=6
  • Tamanho total da amostra: N=50.
O que preciso entregar:
  • Cálculo da média (necessária para variância e desvio-padrão),
  • Variância (vou calcular a variância populacional \sigma^2, justificando; menciono também a fórmula da variância amostral caso precise),
  • Desvio-padrão \sigma,
  • Amplitude (range),
  • Coeficiente de variação ( \text{CV}),
  • Interpretações curtas de cada medida.

Passo 2

Vamos transformar as classes em valores representativos: para dados agrupados usamos o ponto médio de cada classe (marco de classe) como valor \,x_i.
Cálculo dos pontos médios:
  • Para 0\!-\!2: x_1= \dfrac{0+2}{2}=1.
  • Para 2\!-\!4: x_2=3.
  • Para 4\!-\!6: x_3=5.
  • Para 6\!-\!8: x_4=7.
  • Para 8\!-\!10: x_5=9.
Agora calculamos a média aritmética ponderada pelas frequências. A fórmula para a média de dados agrupados é
\bar{x}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} F_i x_i,
onde F_i é a frequência da i-ésima classe, x_i é o ponto médio dessa classe e N=\sum F_i.
Computei os produtos F_i x_i:
\begin{aligned} F_1 x_1 &= 4\cdot 1 = 4,\\\ F_2 x_2 &= 12\cdot 3 = 36,\\\ F_3 x_3 &= 15\cdot 5 = 75,\\\ F_4 x_4 &= 13\cdot 7 = 91,\\\ F_5 x_5 &= 6\cdot 9 = 54. \end{aligned}
Soma: \sum F_i x_i = 4+36+75+91+54 = 260.
Logo,
\bar{x}=\dfrac{260}{50} = 5,2.
Interpretação curta da média: a nota média (esperada) da turma é \,5,2 pontos.

Passo 3

Agora a variância. Primeiro explico as duas versões possívelmente usadas:
  • Variância populacional (quando os N observados representam toda a população considerada): use
\sigma^{2}=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} F_i (x_i-\bar{x})^{2}.
  • Variância amostral (quando os dados são uma amostra e queremos estimar a variância da população): use
s^{2}=\dfrac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{k} F_i (x_i-\bar{x})^{2}.
Aqui os dados são as notas dos 50 estudantes (a tabela apresenta toda a amostra observada), por isso vou calcular a variância populacional \sigma^{2}. Se for preciso um estimador amostral, explico o valor no final.
Vamos calcular os termos (x_i-\bar{x})^{2} e os produtos F_i (x_i-\bar{x})^{2}.
Primeiro os desvios x_i-\bar{x} e seus quadrados:
\begin{aligned} x_1-\bar{x} &= 1-5,2 = -4,2,\quad (x_1-\bar{x})^{2}=17,64;\\\ x_2-\bar{x} &= 3-5,2 = -2,2,\quad (x_2-\bar{x})^{2}=4,84;\\\ x_3-\bar{x} &= 5-5,2 = -0,2,\quad (x_3-\bar{x})^{2}=0,04;\\\ x_4-\bar{x} &= 7-5,2 = 1,8,\quad (x_4-\bar{x})^{2}=3,24;\\\ x_5-\bar{x} &= 9-5,2 = 3,8,\quad (x_5-\bar{x})^{2}=14,44. \end{aligned}
Agora multiplico por F_i:
\begin{aligned} F_1 (x_1-\bar{x})^{2} &= 4\cdot 17,64 = 70,56,\\\ F_2 (x_2-\bar{x})^{2} &= 12\cdot 4,84 = 58,08,\\\ F_3 (x_3-\bar{x})^{2} &= 15\cdot 0,04 = 0,60,\\\ F_4 (x_4-\bar{x})^{2} &= 13\cdot 3,24 = 42,12,\\\ F_5 (x_5-\bar{x})^{2} &= 6\cdot 14,44 = 86,64. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{5} F_i (x_i-\bar{x})^{2} = 70,56+58,08+0,60+42,12+86,64 = 258,00.
Variância populacional:
\sigma^{2}=\dfrac{258,00}{50} = 5,16.
Interpretação da variância: \sigma^{2}=5,16 (unidade: pontos ao quadrado) quantifica a dispersão média ao quadrado das notas em relação à média. Valores maiores indicam maior dispersão.
Observação prática: se precisarmos do estimador amostral (por exemplo para inferência), usaríamos
s^{2}=\dfrac{258,00}{50-1}=\dfrac{258,00}{49}\approx 5,2653.
Vou manter a variância populacional como resposta principal, mas deixei aqui o valor amostral para referência.

Passo 4

Desvio-padrão: é a raiz quadrada da variância e tem a mesma unidade das observações (pontos), o que facilita interpretação. Fórmula:
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{5,16}\approx 2,271.
Interpretação do desvio-padrão: em média, as notas desviam da média cerca de 2,27 pontos. Isso dá uma ideia direta de quão espalhadas estão as notas.
Se usássemos a variância amostral s^{2}\approx 5,2653, o desvio amostral seria s\approx \sqrt{5,2653}\approx 2,295 (apenas para comparação).

Passo 5

Amplitude (range): é a diferença entre o maior e o menor valor observados. Pela tabela as classes extremas vão de 0 até 10, logo
\text{amplitude} = 10-0 = 10 \text{ (pontos)}.
Interpretação da amplitude: a nota máxima possível observada é 10 e a mínima é 0, então o intervalo total de variação das notas é 10 pontos. A amplitude é simples, mas sensível a valores extremos (outliers).

Passo 6

Coeficiente de variação (CV): é a razão entre o desvio-padrão e a média, normalmente expressa em porcentagem; mede a dispersão relativa (permite comparar dispersões de conjuntos com médias diferentes). Fórmula:
\text{CV} = \dfrac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Substituindo os valores:
\text{CV}=\dfrac{2,271}{5,2}\times 100\%\approx 43,67\%.
Interpretação do CV: o desvio-padrão é cerca de 43{,}7\% da média, ou seja, existe uma dispersão relativamente alta em relação ao valor médio das notas — as notas estão bem espalhadas comparadas ao nível médio.

Passo 7

Breve resumo das interpretações (rápido e motivador):
  • Média 5,2: nota média moderada.
  • Variância 5,16 e desvio-padrão 2,271: variabilidade das notas é não desprezível (desvio ~2,27 pontos).
  • Amplitude 10: existiram notas desde 0 até 10 (faixa total grande).
  • CV \approx 43{,}7\%: dispersão relativa alta — a turma é heterogênea nas notas.
Força: com esses números dá para concluir que há heterogeneidade razoável na turma; se quiser, dá para analisar mais (assimetria, percentis, etc.), mas já temos as medidas de dispersão pedidas.

Resposta

\sigma^{2}=5,16
\sigma\approx2,271
\text{amplitude}=10
\text{CV}\approx43{,}7\%

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