A seguir, um exemplo de decomposição de uma fraçăo da forma
em fraçōes unitárias:
Essa decomposição pode ser obtida da seguinte forma:
Expresse 2/97 como soma de frações unitárias usando esse processo.
Passo 1
O que o problema pede: expor
como soma de frações unitárias (frações com numerador
) usando o mesmo processo mostrado no exemplo com
.\n
Informações dadas pelo enunciado/exemplo que vamos usar: no exemplo dividiram em duas frações
, depois partiram uma delas em metades e seguiram partindo uma das metades em frações cujos fatores produzem frações unitárias ao simplificar. O enunciado pede que eu aplique esse processo a
.
Informações dadas pelo enunciado/exemplo que vamos usar: no exemplo dividiram
Passo 2
Rápida lembrança didática do que vamos fazer (sem pular etapas): uma “fração unitária” é uma fração da forma
. A ideia do processo é:
- começar escrevendo
; - pegar uma das frações
e decompor como soma de partes com coeficientes racionais (por exemplo e ); cada parte tem a forma ; - escolher os coeficientes
de modo que, ao multiplicar por , o numerador simplifique e dê exatamente (uma fração unitária). No exemplo usaram e depois para obter cancelamentos que geram frações do tipo .
Vou aplicar exatamente essa mesma sequência ae explicar cada simplificação.
Passo 3
Primeira etapa idêntica ao exemplo: dividir
em duas frações iguais.
Isto é óbvio porque somando
.
Passo 4
Agora vamos pegar uma das
e parti‑la em duas metades iguais, usando o coeficiente
:
Cada metade dá
porque
.
Passo 5
Substituindo essa divisão na soma inicial obtemos
Agora vamos decompor uma das cópias de
usando os coeficientes
e
, tal como no exemplo, porque esses coeficientes vão gerar frações unitárias após simplificação:
Passo 6
Calculemos cada parcela separadamente e simplifiquemos:
- Para a primeira parcela,
Como
divide o numerador
e o denominador
, simplificamos
Então
.
- Para a segunda parcela,
que já é uma fração unitária.
Passo 7
Substituindo essa decomposição na expressão do Passo 5, chegamos à soma final de frações unitárias:
Passo 8
Verificação rápida somando com denominador comum
(apenas para confirmar e entender melhor):
Somando os numeradores:
, então a soma é
. Simplificando por
obtemos
, confirmando que a decomposição está correta.