A seguir, um exemplo de decomposição de uma fraçăo da forma 2 / n em fraçōes unitárias:
\frac{2}{101}=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{1}{303}+\frac{1}{606}
Essa decomposição pode ser obtida da seguinte forma:
\begin{aligned} & \text { eguinte forma: } \\\ & \begin{aligned} \frac{2}{101} & =\frac{1}{101}+\frac{1}{101} \\\ & =\frac{1}{101}+\left(\frac{1}{2} \frac{1}{101}+\frac{1}{2} \frac{1}{101}\right) \\\ & =\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\left(\frac{2}{3} \frac{1}{202}+\frac{1}{3} \frac{1}{202}\right) \\\ & =\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{1}{303}+\frac{1}{606} \end{aligned} \end{aligned}
Expresse 2/97 como soma de frações unitárias usando esse processo.

Passo 1

O que o problema pede: expor \dfrac{2}{97} como soma de frações unitárias (frações com numerador 1) usando o mesmo processo mostrado no exemplo com \dfrac{2}{101}.\n
Informações dadas pelo enunciado/exemplo que vamos usar: no exemplo dividiram \dfrac{2}{101} em duas frações \dfrac{1}{101}+\dfrac{1}{101}, depois partiram uma delas em metades e seguiram partindo uma das metades em frações cujos fatores produzem frações unitárias ao simplificar. O enunciado pede que eu aplique esse processo a \dfrac{2}{97}.

Passo 2

Rápida lembrança didática do que vamos fazer (sem pular etapas): uma “fração unitária” é uma fração da forma \dfrac{1}{m}. A ideia do processo é:
  • começar escrevendo \dfrac{2}{n}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n};
  • pegar uma das frações \dfrac{1}{n} e decompor como soma de partes com coeficientes racionais (por exemplo \tfrac{1}{2} e \tfrac{1}{2}); cada parte tem a forma c\cdot\dfrac{1}{n};
  • escolher os coeficientes c de modo que, ao multiplicar c por \dfrac{1}{n}, o numerador simplifique e dê exatamente \dfrac{1}{\text{inteiro}} (uma fração unitária). No exemplo usaram \tfrac{1}{2} e depois \tfrac{2}{3},\tfrac{1}{3} para obter cancelamentos que geram frações do tipo \dfrac{1}{k}.
    Vou aplicar exatamente essa mesma sequência a \dfrac{2}{97} e explicar cada simplificação.

Passo 3

Primeira etapa idêntica ao exemplo: dividir \dfrac{2}{97} em duas frações iguais.
\dfrac{2}{97}=\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{97}.
Isto é óbvio porque somando \dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{97} = \dfrac{2}{97}.

Passo 4

Agora vamos pegar uma das \dfrac{1}{97} e parti‑la em duas metades iguais, usando o coeficiente \tfrac{1}{2}:
\dfrac{1}{97}=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{97}+\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{97}.
Cada metade dá
\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{97}=\dfrac{1}{194},
porque \tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{97}=\dfrac{1}{2\cdot97}=\dfrac{1}{194}.

Passo 5

Substituindo essa divisão na soma inicial obtemos
\dfrac{2}{97}=\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{194}+\dfrac{1}{194}.
Agora vamos decompor uma das cópias de \dfrac{1}{194} usando os coeficientes \tfrac{2}{3} e \tfrac{1}{3}, tal como no exemplo, porque esses coeficientes vão gerar frações unitárias após simplificação:
\dfrac{1}{194}=\tfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{194}+\tfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{194}.

Passo 6

Calculemos cada parcela separadamente e simplifiquemos:
  • Para a primeira parcela,
\tfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{194}=\dfrac{2}{3\cdot194}=\dfrac{2}{582}.
Como 2 divide o numerador 2 e o denominador 582, simplificamos
\dfrac{2}{582}=\dfrac{1}{291}.
Então \tfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{194}=\dfrac{1}{291}.
  • Para a segunda parcela,
\tfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{194}=\dfrac{1}{3\cdot194}=\dfrac{1}{582},
que já é uma fração unitária.

Passo 7

Substituindo essa decomposição na expressão do Passo 5, chegamos à soma final de frações unitárias:
\dfrac{2}{97}=\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{194}+\dfrac{1}{291}+\dfrac{1}{582}.

Passo 8

Verificação rápida somando com denominador comum 582 (apenas para confirmar e entender melhor):
\text{com }582\text{ como denominador: }
\dfrac{1}{97}=\dfrac{6}{582},\quad \dfrac{1}{194}=\dfrac{3}{582},\quad \dfrac{1}{291}=\dfrac{2}{582},\quad \dfrac{1}{582}=\dfrac{1}{582}.
Somando os numeradores: 6+3+2+1=12, então a soma é \dfrac{12}{582}. Simplificando por 6 obtemos \dfrac{2}{97}, confirmando que a decomposição está correta.

Resposta

\dfrac{2}{97}=\dfrac{1}{97}+\dfrac{1}{194}+\dfrac{1}{291}+\dfrac{1}{582}

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