Expresse (3012) 5 na base 8.

Passo 1

O enunciado pede: "Expresse (3012)_5 na base 8".
Informações dadas: os algarismos do número são, da esquerda para a direita, 3, 0, 1, 2; a base atual é 5; a base alvo é 8.

Passo 2

Entendendo o que significa um número em base 5: cada posição vale um múltiplo de uma potência de 5. O valor decimal do número é dado pela soma dos produtos de cada algarismo pela potência de 5 correspondente à sua posição, contando da direita para a esquerda começando em potência 0. Em fórmula:
(3012)_5 = 3\cdot 5^3 + 0\cdot 5^2 + 1\cdot 5^1 + 2\cdot 5^0

Passo 3

Calcule as potências de 5 e os produtos termo a termo:
5^0 = 1,\qquad 5^1 = 5,\qquad 5^2 = 25,\qquad 5^3 = 125
3\cdot 5^3 = 3\cdot 125 = 375
0\cdot 5^2 = 0\cdot 25 = 0
1\cdot 5^1 = 1\cdot 5 = 5
2\cdot 5^0 = 2\cdot 1 = 2

Passo 4

Some os termos para obter o valor em base decimal (base 10):
375 + 0 + 5 + 2 = 382
Portanto (3012)_5 = (382)_{10}.

Passo 5

Agora convertemos (382)_{10} para a base 8. Método: dividir sucessivamente por 8 e registrar os restos; os restos, lidos de baixo para cima (último resto é o dígito mais significativo), formam o número em base 8.

Passo 6

Primeira divisão:
382 \div 8 = 47\\ \text{com resto}\\\ 6
ou seja, 382 = 8\cdot 47 + 6. O primeiro resto (menor ordem) é 6.

Passo 7

Segunda divisão:
47 \div 8 = 5\\ \text{com resto}\\\ 7
ou seja, 47 = 8\cdot 5 + 7. O próximo resto é 7.

Passo 8

Terceira divisão:
5 \div 8 = 0\\ \text{com resto}\\\ 5
ou seja, 5 = 8\cdot 0 + 5. Como o quociente ficou 0, paramos; o resto 5 é o dígito mais significativo.

Passo 9

Lendo os restos do último para o primeiro obtemos os dígitos da base 8: 5, 7, 6. Logo
(382)_{10} = (576)_8.

Passo 10

Verificação rápida (conversão de volta para decimal) para checar:
5\cdot 8^2 + 7\cdot 8^1 + 6\cdot 8^0 = 5\cdot 64 + 7\cdot 8 + 6 = 320 + 56 + 6 = 382,
confirma que a conversão está correta.

Resposta

(576)_8

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