A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) prova que se 2 n - 1 é um número primo então 2^{n-1}(2 n-1) é um número perfeito. Qual é o quarto número perfeito fornecido pela fórmula de Euclides?

Passo 1

O enunciado diz que, segundo Euclides, se \,2^{n}-1 é um número primo então \,2^{\,n-1}\bigl(2^{n}-1\bigr) é um número perfeito. A pergunta é: “Qual é o quarto número perfeito fornecido pela fórmula de Euclides?”\n
Informações dadas:
  • A fórmula: \,2^{\,n-1}\bigl(2^{n}-1\bigr).
  • A condição: \,2^{n}-1 deve ser primo (esses primos são chamados de primos de Mersenne).
  • Precisamos encontrar o quarto número perfeito gerado por essa fórmula, ou seja, tomar os valores de n em ordem crescente tais que \,2^{n}-1 é primo e calcular os respectivos números perfeitos até achar o quarto.

Passo 2

Estratégia (sem sair da pergunta): vamos gerar, em ordem crescente de n, os valores \,2^{n}-1, verificar quais são primos e, para cada um primo, calcular \,2^{\,n-1}\bigl(2^{n}-1\bigr). Faremos isso para n pequenos (é o procedimento prático em prova): n=2,3,5,7,\dots até obter quatro números perfeitos. Vou mostrar como testar primalidade por tentativa de divisão para esses pequenos valores e como calcular o produto passo a passo.

Passo 3

Caso n=2.\n
Calculemos \,2^{2}-1:
2^{2}-1 = 4-1 = 3.
Verificação: \,3 é primo (não é divisível por 2). Então aplicamos a fórmula:
2^{\,2-1}\bigl(2^{2}-1\bigr) = 2^{1}\cdot 3 = 2\cdot 3 = 6.
Este é o primeiro número perfeito gerado pela fórmula: \,6. (Verificação: divisores próprios 1,2,3 somam 6.)

Passo 4

Caso n=3.\n
Calculemos \,2^{3}-1:
2^{3}-1 = 8-1 = 7.
Verificação: \,7 é primo (testamos divisibilidade por 2,3,5; nenhum divide). Então:
2^{\,3-1}\bigl(2^{3}-1\bigr) = 2^{2}\cdot 7 = 4\cdot 7 = 28.
Este é o segundo número perfeito: \,28. (Verificação: divisores próprios 1,2,4,7,14 somam 28.)

Passo 5

Caso n=5.\n
Calculemos \,2^{5}-1:
2^{5}-1 = 32-1 = 31.
Verificação: \,31 é primo (testamos divisibilidade por 2,3,5; nenhum divide). Então:
2^{\,5-1}\bigl(2^{5}-1\bigr) = 2^{4}\cdot 31 = 16\cdot 31.
Multiplicação passo a passo:
16\cdot 31 = 16\cdot(30+1)=16\cdot30+16\cdot1=480+16=496.
Este é o terceiro número perfeito: \,496. (Verificação: divisores próprios somam 496.)

Passo 6

Caso n=7.\n
Calculemos \,2^{7}-1:
2^{7}-1 = 128-1 = 127.
Verificação de primalidade de \,127: teste divisores primos até \sqrt{127}. Temos \sqrt{127}\approx 11{,}27. Testamos divisão por 2,3,5,7,11; nenhum divide 127, logo 127 é primo. Portanto aplicamos a fórmula:
2^{\,7-1}\bigl(2^{7}-1\bigr) = 2^{6}\cdot 127.
Agora calculemos passo a passo.

Passo 7

Cálculo de \,2^{6} e do produto.\n
Primeiro:
2^{6} = 64.
Agora multiplicamos 64 por 127. Façamos de duas maneiras para ficar claro.
Método A (dobrar):
127\cdot 64 = 127\cdot(8\cdot 8) = \bigl(127\cdot 8\bigr)\cdot 8.
Calcule \,127\cdot 8:
127\cdot 8 = 1016.
Agora multiplique por 8:
1016\cdot 8 = 8128.
Método B (distribuição):
127\cdot 64 = 127\cdot(60+4)=127\cdot 60 + 127\cdot 4.
Calcule cada termo:
127\cdot 60 = 127\cdot 6 \cdot 10 = 762\cdot 10 = 7620,
127\cdot 4 = 508.
Somando:
7620 + 508 = 8128.
Portanto
2^{6}\cdot 127 = 8128.

Passo 8

Verificação rápida de que \,8128 é perfeito usando a propriedade multiplicativa da soma dos divisores (ensinando a técnica):\n
Se n=p^{k} para primo p, a soma dos divisores de n é
\sigma(p^{k})=\frac{p^{k+1}-1}{p-1}.
Para um produto de fatores primos distintos a função \sigma é multiplicativa, isto é,
\sigma\bigl(a\cdot b\bigr)=\sigma(a)\cdot\sigma(b)
quando \gcd(a,b)=1.\n
No nosso caso 8128=2^{6}\cdot 127 com 127 primo e \gcd(2^{6},127)=1. Então
\sigma(2^{6})=\frac{2^{7}-1}{2-1}=127,
\sigma(127)=1+127=128.
Logo
\sigma(8128)=127\cdot 128 = 16256.
A soma dos divisores próprios é \sigma(8128)-8128 = 16256-8128 = 8128, comprovando que 8128 é perfeito. Isso confirma que o quarto número perfeito fornecido pela fórmula é \,8128.

Resposta

8128

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