A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) prova que se
- 1 é um número primo então
é um número perfeito. Qual é o quarto número perfeito fornecido pela fórmula de Euclides?
Passo 1
O enunciado diz que, segundo Euclides, se
é um número primo então
é um número perfeito. A pergunta é: “Qual é o quarto número perfeito fornecido pela fórmula de Euclides?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A fórmula:
. - A condição:
deve ser primo (esses primos são chamados de primos de Mersenne). - Precisamos encontrar o quarto número perfeito gerado por essa fórmula, ou seja, tomar os valores de
em ordem crescente tais que é primo e calcular os respectivos números perfeitos até achar o quarto.
Passo 2
Estratégia (sem sair da pergunta): vamos gerar, em ordem crescente de
, os valores
, verificar quais são primos e, para cada um primo, calcular
. Faremos isso para
pequenos (é o procedimento prático em prova):
até obter quatro números perfeitos. Vou mostrar como testar primalidade por tentativa de divisão para esses pequenos valores e como calcular o produto passo a passo.
Passo 3
Caso
.\n
Calculemos :
Calculemos
Verificação:
é primo (não é divisível por
). Então aplicamos a fórmula:
Este é o primeiro número perfeito gerado pela fórmula:
. (Verificação: divisores próprios
somam
.)
Passo 4
Caso
.\n
Calculemos :
Calculemos
Verificação:
é primo (testamos divisibilidade por
; nenhum divide). Então:
Este é o segundo número perfeito:
. (Verificação: divisores próprios
somam
.)
Passo 5
Caso
.\n
Calculemos :
Calculemos
Verificação:
é primo (testamos divisibilidade por
; nenhum divide). Então:
Multiplicação passo a passo:
Este é o terceiro número perfeito:
. (Verificação: divisores próprios somam
.)
Passo 6
Caso
.\n
Calculemos :
Calculemos
Verificação de primalidade de
: teste divisores primos até
. Temos
. Testamos divisão por
; nenhum divide
, logo
é primo. Portanto aplicamos a fórmula:
Agora calculemos passo a passo.
Passo 7
Cálculo de
e do produto.\n
Primeiro:
Primeiro:
Agora multiplicamos
por
. Façamos de duas maneiras para ficar claro.
Método A (dobrar):
Calcule
:
Agora multiplique por
:
Método B (distribuição):
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida de que
é perfeito usando a propriedade multiplicativa da soma dos divisores (ensinando a técnica):\n
Se para primo
, a soma dos divisores de
é
Se
Para um produto de fatores primos distintos a função
é multiplicativa, isto é,
quando
.\n
No nosso caso com
primo e
. Então
No nosso caso
Logo
A soma dos divisores próprios é
, comprovando que
é perfeito. Isso confirma que o quarto número perfeito fornecido pela fórmula é
.