A seguir são apresentadas duas situações envolvendo força elástica e movimento circular.
I) Chave Centrífuga
II) Mola com massa m em MCU
Nos dois casos, para cada velocidade de rotação da massa presa na ponta da mola, ocorre uma deformação da mola como consequência do Movimento Circular Uniforme (MCU). A chave centrífuga realiza a desconexão de capacitores auxiliares de partida em motores elétricos monofásicos, por meio da força elástica que provoca abertura dos contatos elétricos dos capacitores. Considerando esse contexto. Determine:
No caso II, a mola em MCU possui constante elástica k=400 N / m, a massa m=200 g e L=40 cm, quando a velocidade escalar da esfera for igual a v=12 m / s. Quanto vale L0 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma mola com constante elástica $ k = 400 , \mathrm{N/m} $, uma massa de $ m = 200 , \mathrm{g} $ (que é 0,2 kg), e o comprimento da mola quando deformada $ L = 40 , \mathrm{cm} $ (ou 0,4 m). A velocidade da massa presa na mola é $ v = 12 , \mathrm{m/s} $. Queremos descobrir o comprimento original da mola, que a gente chama de $ L_0 $. Para isso, vamos usar conceitos de força elástica e movimento circular uniforme (MCU).

Passo 2

Vamos lembrar que, no movimento circular uniforme, a força centrípeta que mantém a massa em movimento é fornecida pela força elástica da mola. A força centrípeta ($ F_c $) é dada por:
Fc
Onde:
  • $ m $ é a massa,
  • $ v $ é a velocidade,
  • $ L $ é o comprimento da mola deformada.

Passo 3

A força elástica ($ F_e $) que a mola exerce é calculada por:
Fe
Onde:
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ L $ é o comprimento da mola quando esticada,
  • $ L_0 $ é o comprimento original da mola.

Passo 4

No equilíbrio, a força centrípeta é igual à força elástica:
m v^2L = k (L - L0)
Queremos encontrar $ L_0 $, então vamos rearranjar essa equação para isolá-lo.

Passo 5

Primeiro, vamos dividir ambos os lados pela constante elástica $ k $:
k
Agora, isolando $ L_0 $:
m v^2k L = L - L0

Passo 6

Vamos substituir os valores fornecidos na equação:
L0 = 0,4 , m - 0,2 , kg times (12 , m/s)^2400 , N/m times 0,4 , m
Calculando o numerador:
0,2 times 144 = 28,8
E o denominador:
400 times 0,4 = 160
Então:
L0 = 0,4 , m - 28,8160 = 0,4 , m - 0,18 , m = 0,22 , m

Resposta

O comprimento original da mola $ L_0 $ é de 0,22 metros.

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