A seguir são apresentadas as expressões para a tensão aplicada a um capacitor de 0,5 \mu \mathrm{F}. Qual é a expressão para a corrente em cada caso?
b) v=100 \operatorname{sen}(1600 t-1700)

Passo 1

O enunciado dá a capacitância e a tensão aplicada e pede a expressão da corrente correspondente. Dados fornecidos:
C=0{,}5\\ \mu\text{F}=0{,}5\times10^{-6}\\ \text{F}
v(t)=100\\ \operatorname{sen}\bigl(1600\,t-1700\bigr)\\ \text{(volts)}
O objetivo: encontrar i(t), a corrente no capacitor, como função do tempo.

Passo 2

Fórmula fundamental que liga tensão e corrente num capacitor: a corrente é proporcional à derivada temporal da tensão. A fórmula é
i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}.
Explicação didática: isso vem da definição de capacitância C como C=\dfrac{q}{v}, onde q é a carga; como corrente é taxa de variação da carga ( i=dq/dt), combinando dá i=C\,dv/dt. Aqui i(t) tem unidades de ampère (A), C em farads (F) e v(t) em volts (V). Importante: a derivada de uma função trigonométrica segue a regra da cadeia: se v(t)=A\sin(u(t)), então
\frac{dv}{dt}=A\cos(u(t))\cdot \frac{du}{dt}.
No nosso caso u(t)=1600t-1700 e \dfrac{du}{dt}=1600. Observação: estamos assumindo que os argumentos das funções trigonométricas estão em radianos (frequência angular \omega=1600\\ \mathrm{rad/s}) — isso é o usual em problemas de circuitos.

Passo 3

Calculemos primeiro a derivada \dfrac{dv}{dt} aplicando a regra da cadeia:
v(t)=100\sin\bigl(1600t-1700\bigr).
Usando \dfrac{d}{dt}\sin(u)=\cos(u)\,u' com u=1600t-1700 e u'=1600, obtemos
\frac{dv}{dt}=100\cdot 1600\cdot \cos\bigl(1600t-1700\bigr).
Podemos escrever isso em forma numérica:
\frac{dv}{dt}=160000\cos\bigl(1600t-1700\bigr)\quad\text{(V/s)}.

Passo 4

Agora aplicamos i(t)=C\,\dfrac{dv}{dt}. Substituindo C=0{,}5\times10^{-6} F e a expressão da derivada:
i(t)=\bigl(0{,}5\times10^{-6}\bigr)\cdot 160000\cos\bigl(1600t-1700\bigr).
Façamos a multiplicação com notação científica:
0{,}5\times10^{-6}\times 1{,}6\times10^{5}=(0{,}5\times1{,}6)\times10^{-6+5}=0{,}8\times10^{-1}=0{,}08.
Portanto
i(t)=0{,}08\cos\bigl(1600t-1700\bigr)\\ \text{(A)}.

Passo 5

Interpretação e forma alternativa: 0{,}08\\ \text{A}=80\\ \text{mA}. Então podemos também escrever
i(t)=80\\ \text{mA}\cdot\cos\bigl(1600t-1700\bigr).
Dica para a prova: sempre verifique unidades e use i=C\,dv/dt; para sinais senoidais v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi) o resultado é i(t)=C V_m \omega \cos(\omega t+\varphi).

Resposta

i(t)=0{,}08\cos\bigl(1600t-1700\bigr)\\ \text{A}

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