A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
h[n]=(0,8)^{\prime \prime} u[n+2]

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema LIT (linear e invariável no tempo) com resposta ao impulso
h[n]=(0,8)\,u[n+2]
é causal e se é estável. A informação dada é que a resposta ao impulso é a função acima (interpretei (0,8) como o valor decimal 0,8).

Passo 2

Para determinar se o sistema é causal e estável, precisamos entender o que é u[n+2]\). A função degrau unitário discreto \(u[n]\) vale \(1\) para \(n\ge 0\) e \(0\) para \(n<0\). Portanto \[u[n+2]=\begin{cases} 1, & n+2 \ge 0 \iff n \ge -2,\\[6pt] 0, & n < -2. \end{cases}
Isto significa que u[n+2]\] "liga" a partir de \(n=-2 e permanece 1 para todos os índices maiores.]

Passo 3

Com o entendimento de u[n+2]\), obtemos a forma explícita de \(h[n]\). Como \(h[n]=0,8\,u[n+2]\), temos \[h[n]=\begin{cases} 0,8, & n\ge -2,\\[4pt] 0, & n<-2. \end{cases}
Para ver alguns valores concretos: h[-3]=0\], \(h[-2]=0,8, h[-1]=0,8, h[0]=0,8, h[1]=0,8, etc.]

Passo 4

Um sistema é causal se a saída em qualquer tempo n_0 depende apenas de entradas em instantes n\le n_0. Para um sistema LIT isso é equivalente a exigir que
h[n]=0\quad\text{para todo }n<0.
Isto porque se h[n] fosse não nula em tempo negativo, a saída em n_0 dependeria de entradas futuras.
Olhando para h[n] do Passo 3 vemos que h[-2]=0,8\neq 0 e h[-1]=0,8\neq 0. Logo existem índices n<0 onde h[n]\neq 0. Portanto o sistema NÃO satisfaz a condição de causalidade. Conclusão: o sistema é não causal.

Passo 5

Um sistema LIT é BIBO-estável se toda entrada limitada gera saída limitada. Um critério equivalente e prático é que a resposta ao impulso seja absolutamente somável:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| < \infty.
Se essa série diverge, o sistema não é BIBO-estável.
Usando a expressão do Passo 3, calculamos a soma das magnitudes de h[n]:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \sum_{n=-2}^{\infty} 0,8.
Podemos reindexar com k=n+2 (então k=0,1,2,\dots) e obter
\sum_{n=-2}^{\infty} 0,8 = 0,8\sum_{k=0}^{\infty} 1.
A soma \sum_{k=0}^{\infty} 1 diverge (é infinita), logo a série inteira diverge.

Passo 6

Como \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]| = \infty, a condição de estabilidade BIBO não é satisfeita. Portanto o sistema é instável.
Em resumo, o sistema tem valores não nulos para n<0 (por isso não é causal) e a resposta ao impulso não é absolutamente somável (por isso não é BIBO-estável).

Resposta

Não causal
Instável

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