A seguir, temos respostas ao impulso de sistemas LIT de tempo discreto. Determine se cada um dos sistemas é causal e/ou estável. Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o sistema LIT (linear e invariável no tempo) com resposta ao impulso
é causal e se é estável. A informação dada é que a resposta ao impulso é a função acima (interpretei
como o valor decimal
).
Passo 2
Para determinar se o sistema é causal e estável, precisamos entender o que é
Isto significa que
e permanece
para todos os índices maiores.]
Passo 3
Com o entendimento de
Para ver alguns valores concretos:
,
,
,
, etc.]
Passo 4
Um sistema é causal se a saída em qualquer tempo
depende apenas de entradas em instantes
. Para um sistema LIT isso é equivalente a exigir que
Isto porque se
fosse não nula em tempo negativo, a saída em
dependeria de entradas futuras.
Olhando para
do Passo 3 vemos que
e
. Logo existem índices
onde
. Portanto o sistema NÃO satisfaz a condição de causalidade. Conclusão: o sistema é não causal.
Passo 5
Um sistema LIT é BIBO-estável se toda entrada limitada gera saída limitada. Um critério equivalente e prático é que a resposta ao impulso seja absolutamente somável:
Se essa série diverge, o sistema não é BIBO-estável.
Usando a expressão do Passo 3, calculamos a soma das magnitudes de
:
Podemos reindexar com
(então
) e obter
A soma
diverge (é infinita), logo a série inteira diverge.
Passo 6
Como
, a condição de estabilidade BIBO não é satisfeita. Portanto o sistema é instável.
Em resumo, o sistema tem valores não nulos para
(por isso não é causal) e a resposta ao impulso não é absolutamente somável (por isso não é BIBO-estável).
Resposta
Não causal
Instável
Instável