A seguir, verifique que a função
é solução da equação diferencial
.
Função:
EDO:
Função:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A função candidata
definida por . - A equação diferencial a ser verificada:
O que é pedido: verificar que, ao substituir
na equação diferencial, a igualdade se satisfez para todo
. Em outras palavras, mostrar que
para todo
.
Passo 2
Lembrete das regras de derivação que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
- Derivadas básicas que precisamos:
Isso significa que a exponencial se replica ao derivar e o seno vira cosseno.
Passo 3
Aplicando a regra do produto à função
. Identifico
Então
Usando a fórmula do produto:
Passo 4
Reescrevendo o resultado usando a própria
:
portanto
A igualdade coincide exatamente com a equação diferencial dada, para todo
. Como
e
são diferenciáveis em toda
, o cálculo é válido em todo o domínio.
Passo 5
Conclusão didática rápida: para verificar que uma função é solução de uma EDO, basta calcular sua derivada e comparar com o lado direito da EDO. Aqui a derivada da candidata coincidiu com o lado direito, então a função é solução. Fica a dica para a prova: identifique fatores (como exponencial × trigonométrica), use a regra do produto e simplifique; muitas vezes aparece exatamente o termo
mais outro termo, como neste exercício — é um padrão comum.
Resposta
Sim.
para todo
.