A seguir, verifique que a função mathcal{Y}(t) é solução da equação diferencial y^{\prime}(t)=f(t, \mathcal{Y}(t)).
Função: y(t)=e^{t} \operatorname{sen}(\mathrm{t}), \quad EDO: y^{\prime}(t)=y(t)+e^{t} \cos (\mathrm{t}), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A função candidata \mathcal{Y} definida por \mathcal{Y}(t)=e^{t}\sin t.
  • A equação diferencial a ser verificada: \;y^{\prime}(t)=y(t)+e^{t}\cos t,\;\; t\in\mathbb{R}.
O que é pedido: verificar que, ao substituir \mathcal{Y} na equação diferencial, a igualdade se satisfez para todo t\in\mathbb{R}. Em outras palavras, mostrar que \mathcal{Y}'(t)=\mathcal{Y}(t)+e^{t}\cos t para todo t.

Passo 2

Lembrete das regras de derivação que vamos usar (aulas rápidas e práticas):
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções diferenciáveis, então
( u(t)\,v(t) )' = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).
Aqui u'(t) é a derivada de u em relação a t, e v'(t) é a derivada de v em relação a t.
  • Derivadas básicas que precisamos:
\frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},\qquad \frac{d}{dt}\sin t=\cos t.
Isso significa que a exponencial se replica ao derivar e o seno vira cosseno.

Passo 3

Aplicando a regra do produto à função \mathcal{Y}(t)=e^{t}\sin t. Identifico
u(t)=e^{t},\qquad v(t)=\sin t.
Então
u'(t)=e^{t},\qquad v'(t)=\cos t.
Usando a fórmula do produto:
\mathcal{Y}'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t.

Passo 4

Reescrevendo o resultado usando a própria \mathcal{Y}(t):
\mathcal{Y}(t)=e^{t}\sin t,
portanto
\mathcal{Y}'(t)=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = \mathcal{Y}(t) + e^{t}\cos t.
A igualdade coincide exatamente com a equação diferencial dada, para todo t\in\mathbb{R}. Como e^{t} e \sin t são diferenciáveis em toda \mathbb{R}, o cálculo é válido em todo o domínio.

Passo 5

Conclusão didática rápida: para verificar que uma função é solução de uma EDO, basta calcular sua derivada e comparar com o lado direito da EDO. Aqui a derivada da candidata coincidiu com o lado direito, então a função é solução. Fica a dica para a prova: identifique fatores (como exponencial × trigonométrica), use a regra do produto e simplifique; muitas vezes aparece exatamente o termo y(t) mais outro termo, como neste exercício — é um padrão comum.

Resposta

Sim. \mathcal{Y}'(t)=\mathcal{Y}(t)+e^{t}\cos t para todo t\in\mathbb{R}.

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