Considere a curva C com parametrização dada por
\vec{r}(t)=\left\langle e^{3 t}, 2 e^{-3 t}, 6 t\right\rangle \quad-1 \leq t \leq 1
(a) Encontre as equações paramétricas da reta tangente a C no ponto correspondente a t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\left\langle e^{3t},\, 2e^{-3t},\, 6t\right\rangle,\qquad -1\le t\le 1,
e pede: encontrar as equações paramétricas da reta tangente a C no ponto correspondente a t=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A posição da curva em função de t é \vec{r}(t) como acima.
  • O ponto de tangência corresponde a t=0; portanto será necessário calcular \vec{r}(0).
  • A direção da reta tangente é dada pelo vetor tangente \vec{r}\,'(t) avaliado em t=0; ou seja, será necessário calcular \vec{r}\,'(t) e então \vec{r}\,'(0).
  • A reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica como \vec{\ell}(s)=\vec{r}(0)+s\,\vec{v}, onde \vec{v} é o vetor direção (aqui \vec{r}\,'(0)) e s\in\mathbb{R} é o parâmetro da reta.

Passo 2

Explicação rápida (intuitiva) e cálculo da derivada vetor-velocidade: o vetor tangente à curva em um ponto é o vetor derivada \vec{r}\,'(t). Isso acontece porque a derivada da parametrização dá a velocidade (variação instantânea) da posição quando se varia t; geometricamente essa direção coincide com a direção da reta tangente.
Calculemos \vec{r}\,'(t) componente a componente. Lembrando a regra simples: a derivada de e^{a t} é a e^{a t}, e a derivada de c t (com c constante) é c.
\vec{r}\,'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}e^{3t},\; \frac{d}{dt}2e^{-3t},\; \frac{d}{dt}6t\right\rangle =\left\langle 3e^{3t},\; 2\cdot(-3)e^{-3t},\; 6\right\rangle.
Simplificando a segunda componente:
\vec{r}\,'(t)=\left\langle 3e^{3t},\; -6e^{-3t},\; 6\right\rangle.

Passo 3

Calcular o ponto de tangência \vec{r}(0). Substituindo t=0 em \vec{r}(t):
\vec{r}(0)=\left\langle e^{0},\; 2e^{0},\; 6\cdot 0\right\rangle =\left\langle 1,\; 2,\; 0\right\rangle.
Portanto o ponto de tangência é (1,\,2,\,0).

Passo 4

Avaliar o vetor tangente em t=0: \vec{r}\,'(0). Substituindo t=0 em \vec{r}\,'(t):
\vec{r}\,'(0)=\left\langle 3e^{0},\; -6e^{0},\; 6\right\rangle =\left\langle 3,\; -6,\; 6\right\rangle.
Esse vetor \langle 3,-6,6\rangle é um vetor direção da reta tangente. Observação útil: qualquer múltiplo escalar não nulo de um vetor direção também determina a mesma reta; por exemplo \langle 1,-2,2\rangle é \tfrac{1}{3} -múltiplo de \langle 3,-6,6\rangle e funciona igualmente como direção.

Passo 5

Construir a equação paramétrica da reta tangente. A forma vetorial paramétrica da reta com ponto P_0=\vec{r}(0) e vetor direção \vec{v}=\vec{r}\,'(0) é
\vec{\ell}(s)=\vec{r}(0)+s\,\vec{r}\,'(0),\qquad s\in\mathbb{R}.
Substituindo os valores encontrados:
\vec{\ell}(s)=\left\langle 1,\,2,\,0\right\rangle + s\left\langle 3,\,-6,\,6\right\rangle =\left\langle 1+3s,\; 2-6s,\; 0+6s\right\rangle.
Essas são as equações paramétricas pedidas. (Alternativamente, usando a direção simplificada \langle 1,-2,2\rangle e outro parâmetro u daria \left\langle 1+u,\;2-2u,\;0+2u\right\rangle; ambas representam a mesma reta.)

Resposta

x=1+3s
y=2-6s
z=6s

Exercícios relacionados