Considere a curva
com parametrização dada por
(a) Encontre as equações paramétricas da reta tangente a
no ponto correspondente a
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede: encontrar as equações paramétricas da reta tangente a
no ponto correspondente a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A posição da curva em função de
é como acima. - O ponto de tangência corresponde a
; portanto será necessário calcular . - A direção da reta tangente é dada pelo vetor tangente
avaliado em ; ou seja, será necessário calcular e então . - A reta tangente pode ser escrita em forma paramétrica como
, onde é o vetor direção (aqui ) e é o parâmetro da reta.
Passo 2
Explicação rápida (intuitiva) e cálculo da derivada vetor-velocidade: o vetor tangente à curva em um ponto é o vetor derivada
. Isso acontece porque a derivada da parametrização dá a velocidade (variação instantânea) da posição quando se varia
; geometricamente essa direção coincide com a direção da reta tangente.
Calculemos
componente a componente. Lembrando a regra simples: a derivada de
é
, e a derivada de
(com
constante) é
.
Simplificando a segunda componente:
Passo 3
Calcular o ponto de tangência
. Substituindo
em
:
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 4
Avaliar o vetor tangente em
:
. Substituindo
em
:
Esse vetor
é um vetor direção da reta tangente. Observação útil: qualquer múltiplo escalar não nulo de um vetor direção também determina a mesma reta; por exemplo
é
múltiplo de
e funciona igualmente como direção.
Passo 5
Construir a equação paramétrica da reta tangente. A forma vetorial paramétrica da reta com ponto
e vetor direção
é
Substituindo os valores encontrados:
Essas são as equações paramétricas pedidas. (Alternativamente, usando a direção simplificada
e outro parâmetro
daria
; ambas representam a mesma reta.)