Considere a curva
com parametrização dada por
(b) Calcule o comprimento de
. Dica:
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva
parametrizada por
Informações relevantes que temos:
- A parametrização
com suas três componentes escritas acima. - O intervalo do parâmetro é
.
A tarefa é calcular o comprimento da curva no intervalo dado.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática): se uma curva é dada por uma parametrização vetorial
para
, o comprimento da curva é a integral do comprimento do vetor velocidade
:
Aqui
é a derivada componente a componente (dá a velocidade instantânea) e
é a norma (módulo) desse vetor — isto é, a velocidade escalar. Integrar a velocidade ao longo do tempo dá o comprimento do caminho percorrido. Vamos aplicar essa fórmula com
e
.
Passo 3
Calcular
derivando cada componente:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Agora a norma
é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Usando a dica
, tentamos reconhecer essa soma como quadrado perfeito. Observe que
Isso coincide exatamente com o que está dentro da raiz. Como
para todo
, temos
Passo 5
Agora integramos para obter o comprimento:
Calcule a primitiva termo a termo:
Assim uma primitiva é
. Avaliando nos limites,
Simplificando:
(Alternativamente, usando função hiperbólica,
.)