Considere a curva C com parametrização dada por
\vec{r}(t)=\left\langle e^{3 t}, 2 e^{-3 t}, 6 t\right\rangle \quad-1 \leq t \leq 1
(b) Calcule o comprimento de C. Dica: (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva C parametrizada por
\vec{r}(t)=\left\langle e^{3 t},\;2 e^{-3 t},\;6 t\right\rangle,\qquad -1\le t\le 1.
Informações relevantes que temos:
  • A parametrização \vec{r}(t) com suas três componentes escritas acima.
  • O intervalo do parâmetro é [-1,1].
    A tarefa é calcular o comprimento da curva no intervalo dado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática): se uma curva é dada por uma parametrização vetorial \vec{r}(t) para a\le t\le b, o comprimento da curva é a integral do comprimento do vetor velocidade \vec{r}\,'(t):
L=\int_{a}^{b}\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt.
Aqui \vec{r}\,'(t) é a derivada componente a componente (dá a velocidade instantânea) e \|\vec{r}\,'(t)\| é a norma (módulo) desse vetor — isto é, a velocidade escalar. Integrar a velocidade ao longo do tempo dá o comprimento do caminho percorrido. Vamos aplicar essa fórmula com a=-1 e b=1.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) derivando cada componente:
  • Derivada de e^{3t} é 3e^{3t}.
  • Derivada de 2e^{-3t} é 2\cdot(-3)e^{-3t}=-6e^{-3t}.
  • Derivada de 6t é 6.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\left\langle 3e^{3t},\;-6e^{-3t},\;6\right\rangle.

Passo 4

Agora a norma \|\vec{r}\,'(t)\| é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{(3e^{3t})^{2}+(-6e^{-3t})^{2}+6^{2}} =\sqrt{9e^{6t}+36e^{-6t}+36}.
Usando a dica (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, tentamos reconhecer essa soma como quadrado perfeito. Observe que
(3e^{3t}+6e^{-3t})^{2}=9e^{6t}+2\cdot(3e^{3t})(6e^{-3t})+36e^{-6t} =9e^{6t}+36+36e^{-6t}.
Isso coincide exatamente com o que está dentro da raiz. Como 3e^{3t}+6e^{-3t}>0 para todo t, temos
\|\vec{r}\,'(t)\|=3e^{3t}+6e^{-3t}.

Passo 5

Agora integramos para obter o comprimento:
L=\int_{-1}^{1}\bigl(3e^{3t}+6e^{-3t}\bigr)\,dt.
Calcule a primitiva termo a termo:
\int 3e^{3t}\,dt= e^{3t},\qquad \int 6e^{-3t}\,dt=-2e^{-3t}.
Assim uma primitiva é F(t)=e^{3t}-2e^{-3t}. Avaliando nos limites,
L=F(1)-F(-1)=\bigl(e^{3}-2e^{-3}\bigr)-\bigl(e^{-3}-2e^{3}\bigr).
Simplificando:
L=e^{3}-2e^{-3}-e^{-3}+2e^{3}=3e^{3}-3e^{-3}=3\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr).
(Alternativamente, usando função hiperbólica, L=6\operatorname{sinh}(3).)

Resposta

3\bigl(e^{3}-e^{-3}\bigr)

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