Segunda Questão (
): Considere a superfície obtida ao girarmos, em torno do eixo
, o arco da parábola
para o qual
.
(a) ( 1,5 ponto) Parametrize a superfície, indicando o domínio da parametrização.
(b)
ponto
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
(a) ( 1,5 ponto) Parametrize a superfície, indicando o domínio da parametrização.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a curva (arco da parábola)
para
e pede duas coisas:
- (a) Parametrizar a superfície obtida ao girar esse arco em torno do eixo
, indicando o domínio da parametrização. - (b) Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto
Dados relevantes extraídos do enunciado:
com
O eixo de rotação é o eixo .
O ponto onde queremos o plano tangente é
O eixo de rotação é o eixo
O ponto onde queremos o plano tangente é
Passo 2
Entendendo a geometria (aula rápida e prática): quando giramos uma curva no plano
em torno do eixo
, cada ponto
do arco descreve um círculo de raio igual à distância do ponto ao eixo
, isto é, de raio
. No nosso caso, para um dado
a distância ao eixo
é
Então a parametrização natural usa dois parâmetros:
(altura) e um ângulo
(posição ao redor do eixo).
Passo 3
Construindo a parametrização: em coordenadas cilíndricas o raio é
e as coordenadas cartesianas do ponto girado são
Escolhemos o parâmetro
e
. Assim a parametrização vetorial é
Passo 4
Dominio da parametrização:
(porque o arco original tem
) e
Portanto o domínio é
Portanto o domínio é
Passo 5
Verificação de que o ponto dado pertence à superfície (importante antes de calcular plano tangente): seja
O raio correspondente é
Para que
tenhamos
Esses valores correspondem a
logo existe um parâmetro
que gera exatamente o ponto
. Então o ponto está na superfície — bom!
Passo 6
Teoria para o plano tangente (explicação didática): se temos uma parametrização
as derivadas parciais
são vetores tangentes à superfície nas direções das curvas
const e
const. O produto vetorial
fornece um vetor normal à superfície. A equação do plano tangente em um ponto
é
onde
é ponto variável do plano e
é o ponto conhecido da superfície.
Passo 7
Calculemos as derivadas parciais de
.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Expliquei: ao derivar
em
obtemos
; em
obtemos
, e assim por diante.
Passo 8
Calculemos o produto vetorial
Usamos a fórmula componente a componente:
Usamos a fórmula componente a componente:
onde
e
.
Aqui
e
.
Então:
Portanto
Passo 9
Avalie o vetor normal no ponto parâmetro
.
Primeiro calculemos valores numéricos necessários:
Primeiro calculemos valores numéricos necessários:
Substituindo em
:
Logo um vetor normal em
é
Podemos dividir por
para simplificar sem alterar a direção:
Passo 10
Agora escrevemos a equação do plano tangente usando
e o ponto
. A forma é
Usando a forma simplificada
para o normal, obtemos
Expandindo e simplificando os termos constantes:
Essa é a equação do plano tangente pedida.
Resposta
(a)
.\n(b)
.