Segunda Questão ( \mathbf{3}, \mathbf{0} \mathbf{p t s} ): Considere a superfície obtida ao girarmos, em torno do eixo z, o arco da parábola y=3 z^{2} para o qual |z| \leq 4.
(a) ( 1,5 ponto) Parametrize a superfície, indicando o domínio da parametrização.
(b) (1,5 ponto ) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto (-3,3 \sqrt{3}, \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado dá a curva (arco da parábola) \;y=3z^{2}\; para \;|z|\le 4\; e pede duas coisas:
  1. (a) Parametrizar a superfície obtida ao girar esse arco em torno do eixo z, indicando o domínio da parametrização.
  2. (b) Determinar a equação do plano tangente à superfície no ponto \;(-3,\,3\sqrt{3},\,\sqrt{2})\;.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\;y=3z^{2}\;, com \;z\in[-4,4]\;.
O eixo de rotação é o eixo z.
O ponto onde queremos o plano tangente é \;P=(-3,\,3\sqrt{3},\,\sqrt{2})\;.

Passo 2

Entendendo a geometria (aula rápida e prática): quando giramos uma curva no plano yz em torno do eixo z, cada ponto (0,y_0,z_0) do arco descreve um círculo de raio igual à distância do ponto ao eixo z, isto é, de raio |y_0|. No nosso caso, para um dado \;z\; a distância ao eixo z é \;r=3z^{2}\;. Então a parametrização natural usa dois parâmetros:
\;z\; (altura) e um ângulo \;\theta\in[0,2\pi)\; (posição ao redor do eixo).

Passo 3

Construindo a parametrização: em coordenadas cilíndricas o raio é \;r=3z^{2}\;, e as coordenadas cartesianas do ponto girado são
x = r\cos\theta = 3z^{2}\cos\theta,
y = r\sin\theta = 3z^{2}\sin\theta,
z = z.
Escolhemos o parâmetro \;u=z\; e \;v=\theta\;. Assim a parametrização vetorial é
\mathbf{r}(u,v)=\big(3u^{2}\cos v,\;3u^{2}\sin v,\;u\big).

Passo 4

Dominio da parametrização: \;u\in[-4,4]\; (porque o arco original tem |z|\le 4) e \;v\in[0,2\pi)\;.
Portanto o domínio é
D=\{(u,v)\mid u\in[-4,4],\;v\in[0,2\pi)\}.

Passo 5

Verificação de que o ponto dado pertence à superfície (importante antes de calcular plano tangente): seja \;u_{0}=\sqrt{2}\;. O raio correspondente é \;3u_{0}^{2}=3\cdot(\sqrt{2})^{2}=3\cdot 2=6\;. Para que \;(x,y)=(-3,\,3\sqrt{3}) tenhamos
\cos v_{0}=\frac{x}{3u_{0}^{2}}=\frac{-3}{6}=-\tfrac{1}{2},
\sin v_{0}=\frac{y}{3u_{0}^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Esses valores correspondem a \;v_{0}= \tfrac{2\pi}{3}\;, logo existe um parâmetro (u_{0},v_{0})=(\sqrt{2},\,2\pi/3) que gera exatamente o ponto P. Então o ponto está na superfície — bom!

Passo 6

Teoria para o plano tangente (explicação didática): se temos uma parametrização \;\mathbf{r}(u,v)\;, as derivadas parciais \;\mathbf{r}_{u}\;,\mathbf{r}_{v}\; são vetores tangentes à superfície nas direções das curvas v= const e u= const. O produto vetorial \;\mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\; fornece um vetor normal à superfície. A equação do plano tangente em um ponto P é
\mathbf{n}\cdot\big(\mathbf{x}-\mathbf{P}\big)=0,
onde \mathbf{x}=(x,y,z) é ponto variável do plano e \mathbf{P} é o ponto conhecido da superfície.

Passo 7

Calculemos as derivadas parciais de \;\mathbf{r}(u,v)=\big(3u^{2}\cos v,\;3u^{2}\sin v,\;u\big)\;.
Derivada em relação a u:
\mathbf{r}_{u}(u,v)=\big(6u\cos v,\;6u\sin v,\;1\big).
Derivada em relação a v:
\mathbf{r}_{v}(u,v)=\big(-3u^{2}\sin v,\;3u^{2}\cos v,\;0\big).
Expliquei: ao derivar 3u^{2}\cos v em u obtemos 6u\cos v; em v obtemos -3u^{2}\sin v, e assim por diante.

Passo 8

Calculemos o produto vetorial \;\mathbf{n}(u,v)=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}\;.
Usamos a fórmula componente a componente:
\mathbf{n}(u,v)=\big(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\big),
onde \mathbf{r}_{u}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \mathbf{r}_{v}=(b_{1},b_{2},b_{3}).
Aqui a_{1}=6u\cos v,\;a_{2}=6u\sin v,\;a_{3}=1 e b_{1}=-3u^{2}\sin v,\;b_{2}=3u^{2}\cos v,\;b_{3}=0.
Então:
n_{1}=6u\sin v\cdot 0 - 1\cdot 3u^{2}\cos v = -3u^{2}\cos v,
n_{2}=1\cdot(-3u^{2}\sin v) - 6u\cos v\cdot 0 = -3u^{2}\sin v,
n_{3}=6u\cos v\cdot 3u^{2}\cos v - 6u\sin v\cdot(-3u^{2}\sin v)
\quad = 18u^{3}\cos^{2}v + 18u^{3}\sin^{2}v = 18u^{3}(\cos^{2}v+\sin^{2}v)=18u^{3}.
Portanto
\mathbf{n}(u,v)=\big(-3u^{2}\cos v,\;-3u^{2}\sin v,\;18u^{3}\big).

Passo 9

Avalie o vetor normal no ponto parâmetro (u_{0},v_{0})=(\sqrt{2},\,2\pi/3).
Primeiro calculemos valores numéricos necessários:
u_{0}=\sqrt{2},\qquad u_{0}^{2}=2,\qquad u_{0}^{3}=2\sqrt{2},
\cos v_{0}=\cos\!\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac{1}{2},\qquad \sin v_{0}=\sin\!\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em \mathbf{n}(u,v):
n_{1}=-3\cdot 2\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)=3,
n_{2}=-3\cdot 2\cdot\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=-3\sqrt{3},
n_{3}=18\cdot 2\sqrt{2}=36\sqrt{2}.
Logo um vetor normal em P é
\mathbf{n}_{0}=(3,\;-3\sqrt{3},\;36\sqrt{2}).
Podemos dividir por 3 para simplificar sem alterar a direção:
\mathbf{n}_{0} \sim (1,\;-\sqrt{3},\;12\sqrt{2}).

Passo 10

Agora escrevemos a equação do plano tangente usando \mathbf{n}_{0} e o ponto P=(-3,\,3\sqrt{3},\,\sqrt{2}). A forma é
\mathbf{n}_{0}\cdot\big((x,y,z)-P\big)=0.
Usando a forma simplificada (1,-\sqrt{3},12\sqrt{2}) para o normal, obtemos
1\cdot(x+3) -\sqrt{3}\cdot\big(y-3\sqrt{3}\big) + 12\sqrt{2}\cdot\big(z-\sqrt{2}\big)=0.
Expandindo e simplificando os termos constantes:
x+3 -\sqrt{3}\,y +9 +12\sqrt{2}\,z -24 = 0,
x -\sqrt{3}\,y +12\sqrt{2}\,z -12 = 0.
Essa é a equação do plano tangente pedida.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(u,v)=\big(3u^{2}\cos v,\;3u^{2}\sin v,\;u\big),\qquad (u,v)\in[-4,4]\times[0,2\pi).\n(b) \displaystyle x-\sqrt{3}\,y+12\sqrt{2}\,z-12=0.

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