Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita entre
e
:
Pede-se para encontrar
(ou seja,
).
Informações relevantes: temos uma equação que relaciona e
de forma implícita — não está dada
explicitamente como função de
.
Informações relevantes: temos uma equação que relaciona
Passo 2
Antes de derivar, lembre das regras que vamos usar (vou explicar como se estivéssemos no quadro, passo a passo):
-
O símbolo
significa , a taxa de variação de em relação a . Quando depende de (ou seja, ), ao derivar uma expressão que contém devemos aplicar a regra da cadeia. -
Regra do produto: se temos duas funções dependentes de
, e , então
Exemplo rápido (sem complicar):
.
- Regra da cadeia para
: a derivada de com respeito a é
porque derivamos a função externa
(que dá
) e multiplicamos pela derivada do expoente
.
Estas são as ferramentas que precisamos: produto + cadeia.
Passo 3
Agora aplicamos derivação em ambos os lados da igualdade em relação a
. Começando do lado esquerdo
: é um produto entre
(que tem derivada
) e
(que tem derivada
). Usando a regra do produto:
Do lado direito
, derivando em relação a
:
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação com
:
Agora isolamos os termos que contêm
de um lado: subtraímos
de ambos os lados e também subtraímos
para agrupar:
Fatorando
do lado esquerdo: