Encontre y^{\prime}.
x e^{y}=y-1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita entre x e y:
x e^{y} = y - 1.
Pede-se para encontrar y^{\prime} (ou seja, \dfrac{dy}{dx}).
Informações relevantes: temos uma equação que relaciona x e y de forma implícita — não está dada y explicitamente como função de x.

Passo 2

Antes de derivar, lembre das regras que vamos usar (vou explicar como se estivéssemos no quadro, passo a passo):
  • O símbolo y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}, a taxa de variação de y em relação a x. Quando y depende de x (ou seja, y=y(x)), ao derivar uma expressão que contém y devemos aplicar a regra da cadeia.
  • Regra do produto: se temos duas funções dependentes de x, u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Exemplo rápido (sem complicar): \dfrac{d}{dx}(x\cdot \sin x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x.
  • Regra da cadeia para e^{y(x)}: a derivada de e^{y(x)} com respeito a x é
\frac{d}{dx}e^{y(x)} = e^{y(x)}\cdot y'(x),
porque derivamos a função externa e^{(\cdot)} (que dá e^{(\cdot)}) e multiplicamos pela derivada do expoente y(x).
Estas são as ferramentas que precisamos: produto + cadeia.

Passo 3

Agora aplicamos derivação em ambos os lados da igualdade em relação a x. Começando do lado esquerdo \,x e^{y}\,: é um produto entre x (que tem derivada 1) e e^{y(x)} (que tem derivada e^{y}y'). Usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x e^{y}\bigr)=1\cdot e^{y} + x\cdot\bigl(e^{y}y'\bigr)=e^{y}+x e^{y} y'.
Do lado direito \,y-1\,, derivando em relação a x:
\frac{d}{dx}(y-1)=y' - 0 = y'.

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados obtemos a equação com y':
e^{y}+x e^{y} y' = y'.
Agora isolamos os termos que contêm y' de um lado: subtraímos y' de ambos os lados e também subtraímos e^{y} para agrupar:
x e^{y} y' - y' = -\,e^{y}.
Fatorando y' do lado esquerdo:
y'\bigl(x e^{y} - 1\bigr) = -\,e^{y}.

Resposta

y' = -\frac{e^{y}}{x e^{y} - 1}

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