Primeira Questão (
): Considere o campo vetorial
(a) ( 1,5 ponto) Calcule a integral de linha de
ao longo do segmento de reta que liga o ponto
ao ponto
, nesta ordem.
(b) ( 1,5 ponto) Use o teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha de
ao longo da semicircunferência superior centrada em ( 0,0 ), ligando
a
, percorrida no sentido anti-horário.
(b) ( 1,5 ponto) Use o teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas, e nos dá um campo vetorial. Vou separar claramente o que é pedido e quais são os dados:
- Campo vetorial dado:
- Definições úteis (extraio do campo):
- Perguntas:
(a) Calcular a integral de linha deao longo do segmento de reta que liga a , na ordem .
(b) Usar o Teorema de Green e o resultado do item (a) para calcular a integral de linha deao longo da semicircunferência superior centrada em que liga a , percorrida no sentido anti‑horário.
Passo 2
Resolvendo o item (a): montar a integral de linha ao longo do segmento de reta
.
- Parametrização do segmento: é uma reta horizontal em
com variando de até . Uma parametrização simples é
Aqui
dá
e
dá
.
- Derivadas:
e . Então e .
Explicação intuitiva: parametrizar significa transformar a curva numa função do parâmetro
. Como a reta é horizontal,
e só precisamos que
varie linearmente de
até
.
Passo 3
Calcular a integral de linha usando a forma diferencial
.
- A integral de linha orientada é
- No nosso caso
, logo faz com que o termo com desapareça. Substituindo em :
Portanto o integrando fica
.
- Integrando:
Observação didática: quando a curva está sobre uma linha onde uma das coordenadas é constante, o cálculo costuma simplificar muito porque uma das diferenças
ou
vira zero.
Passo 4
Conclusão do item (a).
- A integral de linha de
ao longo do segmento de reta de para é .
Vou guardar esse resultado porque o enunciado pede explicitamente usá‑lo no item (b).
Passo 5
Preparando o item (b): enunciar e entender o Teorema de Green e como aplicá‑lo aqui.
- Teorema de Green (forma usada): para uma curva fechada simples, positiva (contorno no sentido anti‑horário) que delimita uma região
no plano, e para com derivadas parciais contínuas em ,
- Aplicação prática: vamos fechar a semicircunferência superior
juntando-a com o segmento que liga a ao longo do eixo . Assim a fronteira orientada positivamente é a união de (semicírculo de a no sentido anti‑horário) seguida pelo segmento de a . Então
- Observação sobre orientações: no item (a) calculamos a integral ao longo do segmento na ordem
, que é o sentido oposto do segmento usado para fechar a curva ( ). Então o valor de é o negativo do valor que calculamos em (a).
Passo 6
Calcular o integrando do lado direito do Teorema de Green:
.
- Diferenciando:
- Subtraindo:
Comentário didático: aqui deu uma expressão muito simples e constante
. Quando a expressão é constante, a integral dupla pela região
reduz-se a esse valor vezes a área de
.
Passo 7
Calcular a integral dupla sobre a região
(meia‑disco de raio
, semicircunferência superior).
- A região
é a semicircunferência superior de raio , então sua área é
- Como o integrando é constante
,
Portanto, pela igualdade do Teorema de Green,
Passo 8
Relacionar o resultado fechado com a integral sobre a semicircunferência
que queremos.
- Temos
- Em (a) encontramos
. Logo a integral no sentido oposto, que é onde vai de para , vale
- Substituindo em
:
- Isolando a integral sobre a semicircunferência
:
Resposta
(a)
(b)
(b)