Segundo um estudo da Sociedade Brasileira de Ortopedia e Traumatologia - SBOT,
dos motoristas das cidades do Rio de Janeiro e São Paulo utilizam o celular enquanto estão dirigindo. Baseadas nessa informação as companhias seguradoras estão cogitando elevar o valor do seguro para as pessoas que falam ao celular enquanto dirigem. Para isso a Associação das Seguradoras fez um estudo e observou 500 motoristas aleatoriamente.
a) Calcule a probabilidade de que a proporção amostral esteja no intervalo 0,809 a 0,871 .
b) Qual o tamanho da amostra para o qual a probabilidade caia pela metade?
c) Qual o tamanho da amostra para o qual, mantendo-se a probabilidade em (a), o tamanho do intervalo caia pela metade?
d) Qual o tamanho da amostra para que ocorram (b) e (c) simultaneamente?
a) Calcule a probabilidade de que a proporção amostral esteja no intervalo 0,809 a 0,871 .
b) Qual o tamanho da amostra para o qual a probabilidade caia pela metade?
c) Qual o tamanho da amostra para o qual, mantendo-se a probabilidade em (a), o tamanho do intervalo caia pela metade?
d) Qual o tamanho da amostra para que ocorram (b) e (c) simultaneamente?
Passo 1
Resumindo o enunciado: sabe-se que a proporção verdadeira de motoristas que usam o celular ao dirigir é
. Foi amostrado aleatoriamente
motoristas. Precisamos aproximar a distribuição amostral da proporção por uma normal de média
e variância
, e responder:
a) .
b) o tamanho de amostra para reduzir essa probabilidade à metade.
c) o tamanho de amostra para manter a mesma probabilidade de (a) e reduzir o comprimento do intervalo à metade.
d) o tamanho de amostra que simultaneamente atende (b) e (c).
a)
b) o tamanho de amostra para reduzir essa probabilidade à metade.
c) o tamanho de amostra para manter a mesma probabilidade de (a) e reduzir o comprimento do intervalo à metade.
d) o tamanho de amostra que simultaneamente atende (b) e (c).
Passo 2
Calcular a probabilidade pedida em (a). A variância da proporção amostral é
logo o desvio padrão é
Definindo
temos
Passo 3
Determinar
para que a probabilidade em (a) caia pela metade, ou seja,
Da tabela,
. Mantendo o mesmo semi-intervalo de amplitude
, tem-se
Como
, obtemos
Passo 4
Determinar
para que o comprimento do intervalo em (a) caia pela metade, mas mantendo a mesma probabilidade
. O valor crítico permanece
, e a nova semi-amplitude é
. Logo
Passo 5
Determinar
que simultaneamente reduza a probabilidade pela metade e o comprimento do intervalo pela metade. A condição de probabilidade leva a
e a semi-amplitude a
. Então
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)