Segundo um estudo da Sociedade Brasileira de Ortopedia e Traumatologia - SBOT, 84 \% dos motoristas das cidades do Rio de Janeiro e São Paulo utilizam o celular enquanto estão dirigindo. Baseadas nessa informação as companhias seguradoras estão cogitando elevar o valor do seguro para as pessoas que falam ao celular enquanto dirigem. Para isso a Associação das Seguradoras fez um estudo e observou 500 motoristas aleatoriamente.
a) Calcule a probabilidade de que a proporção amostral esteja no intervalo 0,809 a 0,871 .
b) Qual o tamanho da amostra para o qual a probabilidade caia pela metade?
c) Qual o tamanho da amostra para o qual, mantendo-se a probabilidade em (a), o tamanho do intervalo caia pela metade?
d) Qual o tamanho da amostra para que ocorram (b) e (c) simultaneamente?

Passo 1

Resumindo o enunciado: sabe-se que a proporção verdadeira de motoristas que usam o celular ao dirigir é p=0,84. Foi amostrado aleatoriamente n=500 motoristas. Precisamos aproximar a distribuição amostral da proporção por uma normal de média p e variância p(1-p)/n, e responder:
a) \Pr(0,809 \le \hat p \le 0,871).
b) o tamanho de amostra para reduzir essa probabilidade à metade.
c) o tamanho de amostra para manter a mesma probabilidade de (a) e reduzir o comprimento do intervalo à metade.
d) o tamanho de amostra que simultaneamente atende (b) e (c).

Passo 2

Calcular a probabilidade pedida em (a). A variância da proporção amostral é
\Var(\hat p)=\frac{p(1-p)}{n}=\frac{0,84\cdot0,16}{500}=0,0002688,
logo o desvio padrão é
\sigma_{\hat p}=\sqrt{0,0002688}\approx0,01640.
Definindo
z_1=\frac{0,809-0,84}{0,01640}\approx-1,89, \quad z_2=\frac{0,871-0,84}{0,01640}\approx+1,89,
temos
\Pr(0,809\le\hat p\le0,871) =\Phi(1,89)-\Phi(-1,89) =2\,\Phi(1,89)-1 \approx2\cdot0,9706-1=0,9412.

Passo 3

Determinar n para que a probabilidade em (a) caia pela metade, ou seja,
2\,\Phi(c')-1=\tfrac12\bigl(2\,\Phi(1,89)-1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \Phi(c')=\frac{\Phi(1,89)+0{,}5}{2}=\frac{0{,}9706+0{,}5}{2}=0{,}7353.
Da tabela, c'=\Phi^{-1}(0,7353)\approx0,63. Mantendo o mesmo semi-intervalo de amplitude 0,031, tem-se
c'=\frac{0,031}{\sigma_{\hat p}'}\quad\Longrightarrow\quad \sigma_{\hat p}'=\frac{0,031}{0,63}\approx0,0492.
Como \sigma_{\hat p}'=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n'}}, obtemos
n'=\frac{0,84\cdot0,16}{(0,0492)^2}\approx55{,}6\quad\Longrightarrow\quad n'\approx56.

Passo 4

Determinar n para que o comprimento do intervalo em (a) caia pela metade, mas mantendo a mesma probabilidade 0,9412. O valor crítico permanece z=1,89, e a nova semi-amplitude é 0,031/2=0,0155. Logo
1,89\,\sigma_{\hat p}''=0,0155 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_{\hat p}''=\frac{0,0155}{1,89}\approx0,00820,
n''=\frac{0,84\cdot0,16}{(0,00820)^2}\approx1\,998{,}5 \quad\Longrightarrow\quad n''\approx1\,999.

Passo 5

Determinar n que simultaneamente reduza a probabilidade pela metade e o comprimento do intervalo pela metade. A condição de probabilidade leva a c'=0,63 e a semi-amplitude a 0,0155. Então
c'\,\sigma_{\hat p}'''=0,0155 \quad\Longrightarrow\quad \sigma_{\hat p}'''=\frac{0,0155}{0,63}\approx0,0246,
n'''=\frac{0,84\cdot0,16}{(0,0246)^2}\approx222{,}2 \quad\Longrightarrow\quad n'''\approx223.

Resposta

a) 0,9412.
b) n\approx56.
c) n\approx1\,999.
d) n\approx223.

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