Seja uma va X, \operatorname{com} f d p f(x)=\frac{k}{\sqrt{x}}-k, se 0<x \leq k.
a) Encontre k para que f(x) seja uma f.d.p.
b) Encontre sua fda F(x).
c) Calcule a média e a variância de X.
d) Encontre os pontos a e b tais que P(X \leq a)=P(X \geq b)=0,25.

Passo 1

O enunciado apresenta uma v.a. contínua X com densidade
f(x)=\frac{k}{\sqrt{x}} - k
para 0<x\le k (e f(x)=0 fora desse intervalo).
Precisamos usar a condição de normalização \int f(x)\,dx=1 para achar k, depois calcular a função de distribuição acumulada (FDA), o valor esperado, a variância e, por fim, os quantis de ordem 0{,}25 e 0{,}75.

Passo 2

Impondo a normalização:
\int_{0}^{k}\Bigl(\frac{k}{\sqrt{x}}-k\Bigr)\,dx = k\int_{0}^{k}x^{-\tfrac12}\,dx \;-\;k\int_{0}^{k}1\,dx = k\bigl[2\sqrt{x}\bigr]_{0}^{k} - k\bigl[x\bigr]_{0}^{k} =2k\sqrt{k}-k^{2}.
Como isso deve valer 1, temos
2k^{3/2}-k^{2}=1.
A única solução positiva compatível com f(x)\ge0 em (0,k] é k=1.

Passo 3

Com k=1, a densidade vira
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-1,\quad 0<x\le1.
A FDA é
F(x)=\int_{0}^{x}\Bigl(t^{-\tfrac12}-1\Bigr)dt =\bigl[2\sqrt{t}-t\bigr]_{0}^{x} =2\sqrt{x}-x,
portanto
F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\\\ 2\sqrt{x}-x, & 0<x<1,\\\\ 1, & x\ge1. \end{cases}

Passo 4

Para a média:
E[X] =\int_{0}^{1}x\Bigl(x^{-\tfrac12}-1\Bigr)dx =\int_{0}^{1}x^{\tfrac12}dx-\int_{0}^{1}x\,dx =\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{1}{6}.
Para o segundo momento:
E[X^{2}] =\int_{0}^{1}x^{2}\Bigl(x^{-\tfrac12}-1\Bigr)dx =\int_{0}^{1}x^{\tfrac32}dx-\int_{0}^{1}x^{2}dx =\frac{2}{5}-\frac{1}{3} =\frac{1}{15}.
Logo a variância é
\mathrm{Var}(X) =E[X^{2}]-\bigl(E[X]\bigr)^{2} =\frac{1}{15}-\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^{2} =\frac{7}{180}.

Passo 5

Queremos a tal que F(a)=0{,}25.
Resolvendo
2\sqrt{a}-a=0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad y=\sqrt{a}\quad\Rightarrow\quad y^{2}-2y+0{,}25=0
cuja raiz em (0,1) é y=1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Assim
a=\Bigl(1-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2} =\frac{7}{4}-\sqrt{3}.
Para b com P(X\ge b)=0{,}25 basta F(b)=0{,}75.
Resolvendo
2\sqrt{b}-b=0{,}75 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{b}=\tfrac{1}{2}
na solução válida, obtemos b=\tfrac{1}{4}.

Resposta

a) k=1\) b) \[F(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\\\ 2\sqrt{x}-x, & 0<x<1,\\\\ 1, & x\ge1, \end{cases}
c) E[X]=\tfrac{1}{6}\] e \(\mathrm{Var}(X)=\tfrac{7}{180}
d) a=\tfrac{7}{4}-\sqrt{3},\quad b=\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados