Segundo da formulação proposta por Bera e por Jarque qual a relação existente entre o tamanho da amostra e os coeficientes de assimetria e curtose em um conjunto de dados. Justifique sua resposta.
R.: Quanto maior o tamanho da amostra mais tolerante é o teste de hipóteses em relação a valores diferentes de zero para \mathbf{a}_{\mathbf{3}} e diferentes de três para \mathbf{a}_{4}. No entanto, quanto maior é a amostra maior é a convergência destes valores para zero e três, respectivamente. Justificativa: Teorema do limite central ou lei dos grandes números.

Passo 1

O enunciado pergunta qual a relação existente entre o tamanho da amostra e os coeficientes de assimetria \,a_3 e curtose \,a_4 segundo a formulação de Bera e Jarque. Para responder, vamos usar a distribuição amostral desses estimadores e o funcionamento do teste de Jarque–Bera, além de resultados como o Teorema do Limite Central e a Lei dos Grandes Números.

Passo 2

Os coeficientes de assimetria e curtose são estimadores baseados em momentos amostrais. Pela Lei dos Grandes Números, conforme o tamanho da amostra N cresce, esses estimadores convergem em probabilidade para seus valores teóricos, ou seja,
a_3 \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\;0 \quad\text{e}\quad a_4 \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\;3.

Passo 3

No teste de Jarque–Bera, a estatística de teste é
JB \;=\;\frac{N}{6}\,a_3^2 \;+\;\frac{N}{24}\,(a_4-3)^2,
que sob a hipótese nula segue aproximadamente \chi^2_2. Observe que o fator N multiplica os quadrados de a_3 e (a_4-3), de modo que, para amostras maiores, mesmo pequenas discrepâncias em a_3 e a_4 são amplificadas no valor de JB.

Passo 4

Em síntese, quando N é grande, por um lado o teste se torna mais “tolerante” no sentido de que os estimadores a_3 e a_4 efetivamente se aproximam de 0 e 3 (convergência amostral); por outro, a presença do fator N na estatística faz com que o teste seja sensível a desvios mínimos desses valores, alterando o critério de rejeição.

Resposta

Quanto maior o tamanho da amostra, mais tolerante é o teste de hipóteses em relação a valores diferentes de zero para \,a_3 e diferentes de três para \,a_4. No entanto, quanto maior é a amostra, maior é a convergência desses coeficientes para zero e três, respectivamente, em virtude do Teorema do Limite Central e da Lei dos Grandes Números.

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