Segundo um radar,as velocidades( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} )de uma amostra de vinte carros numa perimetral de São paulo no início de uma noite foram: \mathrm{V}=\{107.92 ; 107.78 ; 107.08 ; 111.29 ; 108.59 ; 113.60 ; 104.40 ; 109.50 ; 115.06 ; 111.92 ; 106.18 ; 107.80 ; 116.65;104.49;110.13;113.43;104.49;114.23;109.46;113.62}-Para cada item pedido escreva o estimador(a"fórmula").-Para quantis,apresente a fórmula adotada para localização da posição(índice).-Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.-Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
Qual o valor médio e a variância desses dados após a padronização?

Passo 1

O enunciado fornece a amostra de velocidades em km/h e pede a padronização, isto é, definir
z_i = \frac{x_i - \bar x}{s}
onde \bar x é a média amostral e s o desvio-padrão amostral de x. Em seguida, queremos calcular o valor médio e a variância dos z_i.

Passo 2

Escrevemos os estimadores:
a) Média amostral dos z_i:
\bar z \;=\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} z_i\quad.
b) Variância amostral dos z_i:
s_z^2 \;=\;\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(z_i-\bar z\bigr)^2\quad.
Aqui n=20. Note que a unidade dos z_i é adimensional.

Passo 3

Desenvolvendo a primeira linha do cálculo para \bar z:
\bar z =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}z_i =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i - \bar x}{s} =\frac{1}{n\,s}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)
mas \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)=0, logo
\bar z = 0.

Passo 4

Agora a variância amostral dos z_i:
s_z^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(z_i-\bar z)^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}z_i^2 =\frac{1}{(n-1)s^2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 =\frac{s^2}{s^2} =1.

Resposta

Média após padronização: \bar z = 0 (adimensional)
Variância após padronização: s_z^2 = 1 (adimensional)

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