Segundo um radar,as velocidades( \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h} )de uma amostra de vinte carros numa perimetral de São paulo no início de uma noite foram: \mathrm{V}=\{107.92 ; 107.78 ; 107.08 ; 111.29 ; 108.59 ; 113.60 ; 104.40 ; 109.50 ; 115.06 ; 111.92 ; 106.18 ; 107.80 ; 116.65;104.49;110.13;113.43;104.49;114.23;109.46;113.62}-Para cada item pedido escreva o estimador(a"fórmula").-Para quantis,apresente a fórmula adotada para localização da posição(índice).-Desenvolva por escrito a primeira linha do cálculo.-Apresente cada medida juntamente com sua unidade dimensional.
Apresente esse conjunto de dados de velocidades padronizado ( z-Scores).

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n=20 velocidades (em km/h)
V=\{107.92,\,107.78,\,107.08,\,111.29,\,108.59,\,113.60,\,104.40,\,109.50,\,115.06,\,111.92,\,106.18,\,107.80,\,116.65,\,104.49,\,110.13,\,113.43,\,104.49,\,114.23,\,109.46,\,113.62\}
e pede:
– o estimador da média amostral, da variância amostral e do desvio-padrão amostral (com fórmulas);
– o estimador dos quantis (com a fórmula de localização de índice);
– a primeira linha dos cálculos numéricos;
– cada medida com sua unidade;
– o conjunto padronizado ( z-scores).

Passo 2

Média amostral \bar{V}
Fórmula:
\bar{V}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}V_i.
Primeira linha do cálculo:
\bar{V}=\frac{1}{20}\bigl(107.92+107.78+\cdots+113.62\bigr)=\frac{2197.62}{20}=109.881\;\mathrm{km/h}.

Passo 3

Variância amostral s^2
Fórmula:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl(V_i-\bar{V}\bigr)^2.
Primeira linha do cálculo (alguns termos):
(V_1-\bar{V})^2=(107.92-109.881)^2=(-1.961)^2=3.8455,\quad (V_2-\bar{V})^2=4.414,\;\dots
Somatório \sum(V_i-\bar{V})^2=262.4755, logo
s^2=\frac{262.4755}{19}=13.820\;(\mathrm{km/h})^2.

Passo 4

Desvio-padrão amostral s
Fórmula: s=\sqrt{s^2}. Cálculo:
s=\sqrt{13.820}=3.717\;\mathrm{km/h}.

Passo 5

Quantis Q_p com índice \ell=(n+1)p.
Para p=0.25,0.5,0.75 temos:
\ell_1=21\cdot0.25=5.25,\quad \ell_2=21\cdot0.5=10.5,\quad \ell_3=21\cdot0.75=15.75.
Na amostra ordenada
104.40,104.49,104.49,106.18,107.08,107.78,\dots,116.65
Q_1 = x_{(5)}+0.25\bigl(x_{(6)}-x_{(5)}\bigr) =107.08+0.25(107.78-107.08)=107.255\;\mathrm{km/h},
Q_2 = x_{(10)}+0.5\bigl(x_{(11)}-x_{(10)}\bigr) =109.46+0.5(109.50-109.46)=109.480\;\mathrm{km/h},
Q_3 = x_{(15)}+0.75\bigl(x_{(16)}-x_{(15)}\bigr) =113.43+0.75(113.60-113.43)=113.558\;\mathrm{km/h}.

Passo 6

z-scores z_i=\dfrac{V_i-\bar{V}}{s}.
Primeira linha:
z_1=\frac{107.92-109.881}{3.717}=-0.528.
O vetor completo é aproximadamente
\{-0.528,\,-0.565,\,-0.754,\,+0.379,\,-0.347,\,+1.001,\,-1.474,\,-0.103,\,+1.393,\,+0.549,
-0.996,\,-0.560,\,+1.820,\,-1.450,\,+0.067,\,+0.954,\,-1.450,\,+1.170,\,-0.113,\,+1.006\}.

Resposta

Média amostral: \bar{V}=109.881\;\mathrm{km/h}
Variância amostral: s^2=13.820\;(\mathrm{km/h})^2
Desvio-padrão amostral: s=3.717\;\mathrm{km/h}
Quartil Q_1=107.255\;\mathrm{km/h}
Mediana Q_2=109.480\;\mathrm{km/h}
Quartil Q_3=113.558\;\mathrm{km/h} z-scores: \{-0.528,\,-0.565,\,-0.754,\,+0.379,\,-0.347,\,+1.001,\,-1.474,\,-0.103,\,+1.393,\,+0.549, -0.996,\,-0.560,\,+1.820,\,-1.450,\,+0.067,\,+0.954,\,-1.450,\,+1.170,\,-0.113,\,+1.006\}.

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