Segundo uma revista especializada, um automóvel de determinada marca percorre 400 m em 20 s a partir do repouso. Admitindo que a aceleração seja constante, determine, em módulo, nesse caso:
a. a velocidade média;
b. a velocidade ao final dos 20 s;
c. a aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Deslocamento total: \Delta s = 400\\ \text{m}.
    • Intervalo de tempo: \Delta t = 20\\ \text{s}.
    • Velocidade inicial: v_0 = 0 (o automóvel parte do repouso).
    • Aceleração é constante durante o movimento.
  • Perguntas pedidas (todas em módulo):
    a. A velocidade média no intervalo de 20\\ \text{s}.
    b. A velocidade ao final dos 20\\ \text{s} (ou seja, a velocidade final v).
    c. A aceleração (em módulo).

Passo 2

Conceito e fórmula da velocidade média para deslocamento uniformemente acelerado: a velocidade média escalar em um intervalo é definida como a razão entre o deslocamento total e o intervalo de tempo. Em símbolos:
\bar v=\frac{\Delta s}{\Delta t},
onde \bar v é a velocidade média, \Delta s é o deslocamento e \Delta t é o tempo decorrido. Vamos aplicar essa fórmula com os números do enunciado:
\bar v=\frac{400}{20}.
Agora calculamos passo a passo:
\frac{400}{20}=\frac{400}{20}=20.
Portanto a velocidade média é \bar v=20\\ \text{m/s}.

Passo 3

Relação entre velocidade média e velocidade final para aceleração constante começando do repouso: para aceleração constante a velocidade varia linearmente no tempo, e a velocidade média no intervalo é a média aritmética da velocidade inicial e da velocidade final:
\bar v=\frac{v_0+v}{2}.
Aqui v_0 é a velocidade inicial e v é a velocidade final. Como v_0=0, temos
\bar v=\frac{0+v}{2}=\frac{v}{2}.
Isolando v,
v=2\bar v.
Substituindo \bar v=20\\ \text{m/s} do Passo 2:
v=2\cdot 20 = 40.
Logo a velocidade final é v=40\\ \text{m/s}.

Passo 4

Fórmula do deslocamento para movimento com aceleração constante (equação do movimento):
\Delta s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde a é a aceleração e t é o intervalo de tempo. Aqui v_0=0, então a fórmula simplifica para
\Delta s = \tfrac{1}{2} a t^2.
Isolando a,
a = \frac{2\Delta s}{t^2}.
Agora substituímos os valores \Delta s=400\\ \text{m} e t=20\\ \text{s}:
a=\frac{2\cdot 400}{20^2}.
Calculando passo a passo:
20^2=400,
2\cdot 400=800,
a=\frac{800}{400}=2.
Portanto a aceleração é a=2\\ \text{m/s}^2.

Passo 5

Verificação usando a definição de aceleração média: a aceleração constante também pode ser obtida por
a=\frac{v-v_0}{t}.
Como v_0=0 e v=40\\ \text{m/s} (Passo 3),
a=\frac{40-0}{20}=\frac{40}{20}=2,
confirmando a=2\\ \text{m/s}^2. Fazendo um cheque final: calcular \Delta s com esses valores dá
\Delta s = \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 20^2 = 1\cdot 400 = 400\\ \text{m},
que coincide com o enunciado — bom sinal, resposta consistente.

Resposta

(a) \bar v=20\\ \text{m/s}
(b) v=40\\ \text{m/s}
(c) a=2\\ \text{m/s}^2

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