Um avião a jato comercial deve atingir uma velocidade de 360 k m / h para decolar. Se a pista tem um comprimento de 2000 m, qual deve ser o módulo da aceleração desse avião, suposta constante, para iniciar a decolagem?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o módulo da aceleração constante que um avião precisa ter para atingir a velocidade necessária de decolagem antes de terminar a pista. Dados fornecidos:
\text{velocidade necessária} = 360\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}á
\text{comprimento da pista} = 2000\\ \mathrm{m}
Pressuposição natural (a questão foi formulada de forma adequada): o avião parte do repouso, ou seja,
v_0 = 0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
A incógnita é o módulo da aceleração constante a.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a equação cinemática útil para movimento com aceleração constante que relaciona velocidade, posição e aceleração sem envolver o tempo. As fórmulas básicas são:
v = v_0 + a t
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde:
  • v é a velocidade final (em \mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m}/\mathrm{s}),
  • a é a aceleração constante (em \mathrm{m}/\mathrm{s}^2),
  • t é o tempo (em \mathrm{s}),
  • s é o deslocamento (em \mathrm{m}).
Para eliminar o tempo t e obter uma relação direta entre v, v_0, a e s, isolamos t em v = v_0 + a t:
t = \frac{v - v_0}{a}.
Substituímos este t em s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2. Fazendo as contas (vou mostrar passo a passo):
s = v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2.
Simplificando:
s = \frac{v_0(v-v_0)}{a} + \frac{1}{2a}(v-v_0)^2.
Multiplicando por 2a para limpar denominadores:
2as = 2v_0(v-v_0) + (v-v_0)^2.
Expandindo o lado direito:
2as = 2v_0 v - 2v_0^2 + v^2 - 2v_0 v + v_0^2 = v^2 - v_0^2.
Portanto obtemos a fórmula muito útil:
v^2 = v_0^2 + 2 a s.
Essa fórmula permite calcular a diretamente:
a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s}.
Explicação física curta: é uma relação de energia cinética por unidade de massa (a variação de v^2) ligada ao deslocamento sob aceleração constante.

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula, precisamos colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (SI). Convertendo a velocidade de \mathrm{km}/\mathrm{h} para \mathrm{m}/\mathrm{s}:
Regra de conversão: 1\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} = \dfrac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = \dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Aplicando para \;360\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}:
v = 360\cdot \frac{5}{18}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Calculemos:
360\div 18 = 20,\quad 20\cdot 5 = 100,
logo
v = 100\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula \;v^2 = v_0^2 + 2 a s\; com v_0=0, v=100\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} e s=2000\\ \mathrm{m}. Assim:
a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s} = \frac{100^2 - 0^2}{2\cdot 2000}.
Calcule passo a passo:
100^2 = 10000,
2\cdot 2000 = 4000,
a = \frac{10000}{4000}.
Simplificando a fração:
\frac{10000}{4000} = \frac{10000\div 1000}{4000\div 1000} = \frac{10}{4} = 2,5.
Portanto
a = 2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

Passo 5

Verificação rápida (checada mentalmente): com a=2{,}5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 o tempo para chegar a 100\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} seria
t=\frac{v-v_0}{a}=\frac{100}{2{,}5}=40\\ \mathrm{s},
e o deslocamento usando s=\tfrac{1}{2}at^2 seria
s=\tfrac{1}{2}\cdot 2{,}5\cdot 40^2 = 1{,}25\cdot 1600 = 2000\\ \mathrm{m},
logo é consistente com a pista disponível. Boa — faz sentido físico e numérico.

Resposta

2,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2

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