O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por \ 800 ou em oito prestações mensais deçõ$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
e) anual.

Passo 1

O enunciado dá duas maneiras de pagar o seguro do carro: à vista por \$800 ou em oito prestações mensais de \$128,83. A pergunta (item e) pede a taxa nominal anual quando a capitalização dos juros é anual. Informações relevantes listadas:

\bullet Valor à vista: \$800.
\bullet Pagamentos: 8 prestações mensais de \$128,83.
\bullet Procuramos a taxa nominal anual com capitalização anual (ou seja, a taxa efetiva anual i).

A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Ideia geral e fórmulas que vamos usar (explicação didática): queremos que o valor presente das oito prestações, descontadas pela taxa apropriada, seja igual a \$800. As prestações são mensais, mas a capitalização pedida é anual: se a taxa efetiva anual for i, a taxa efetiva mensal equivalente é
r=(1+i)^{1/12}-1.
Para uma série de pagamentos mensais iguais (anuidade imediata) o valor presente é dado pela soma geométrica
\text{PV}=\sum_{k=1}^{8}\frac{128,83}{(1+r)^k}=128,83\cdot\frac{1-(1+r)^{-8}}{r}.
Explico rapidamente de onde vem essa fórmula: a soma \sum_{k=1}^{8} (1+r)^{-k} é uma soma geométrica com razão (1+r)^{-1}; somando-a e multiplicando por 1-(1+r)^{-8} obtemos a expressão fechada \dfrac{1-(1+r)^{-8}}{r}. Cada termo é descontado k meses usando o fator (1+r)^{-k}.

Passo 3

Montamos a equação que relaciona i (via r) e os valores conhecidos:
128,83\cdot\frac{1-(1+r)^{-8}}{r}=800.
Isolando a fração obtemos
\frac{1-(1+r)^{-8}}{r}=\frac{800}{128,83}.
Calculando o lado direito (divisão numérica):
\frac{800}{128,83}\approx 6,209799\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Agora precisamos achar r que satisfaz
\frac{1-(1+r)^{-8}}{r}=6,209799.
A função do lado esquerdo é decrescente em r>0, então podemos procurar r por tentativa/ajuste numérico. Teste com r=0,06 (ou seja, 6\% ao mês): calculemos (1+0,06)^8 passo a passo
1{,}06^2=1{,}1236,
1{,}06^4=1{,}1236^2=1{,}26247696,
1{,}06^8=1{,}26247696^2=1{,}5938470745308416.
Logo
(1+0{,}06)^{-8}=\frac{1}{1{,}5938470745308416}\approx 0{,}627413\ldots
e
\frac{1-(1+0{,}06)^{-8}}{0{,}06}=\frac{1-0{,}627413\ldots}{0{,}06}\approx\frac{0{,}372587}{0{,}06}\approx 6{,}20978\ldots
Multiplicando por 128{,}83 \approx 800{,}00. Isso está numa concordância numérica praticamente exata com 6{,}209799. Portanto a taxa mensal equivalente é
r\approx 0{,}06\quad(\text{ou }6\%\text{ ao mês}).ê

Passo 5

Agora convertemos essa taxa mensal r para a taxa efetiva anual i já que a capitalização pedida é anual. A relação é
1+i=(1+r)^{12}.
Substituindo r=0{,}06 temos
1+i=(1{,}06)^{12}.
Podemos calcular (1{,}06)^{12} multiplicando progressivamente (ou usar a relação (1{,}06)^{12}=(1{,}06)^{8}\cdot(1{,}06)^{4}). Usando multiplicações sucessivas obtemos
(1{,}06)^{12}\approx 2{,}0121952093585904.
Portanto
i=(1{,}06)^{12}-1\approx 1{,}0121952093585904.
Em termos percentuais isso é aproximadamente 101{,}2195\% ao ano.

Resposta

i\approx 101{,}22\% a.a. (capitalização anual)

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