O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por
800
$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
e) anual.
e) anual.
Passo 1
O enunciado dá duas maneiras de pagar o seguro do carro: à vista por
ou em oito prestações mensais de
. A pergunta (item e) pede a taxa nominal anual quando a capitalização dos juros é anual. Informações relevantes listadas:
Valor à vista:
.
Pagamentos:
prestações mensais de
.
Procuramos a taxa nominal anual com capitalização anual (ou seja, a taxa efetiva anual
).
A resolução começa a partir dessas informações.
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Ideia geral e fórmulas que vamos usar (explicação didática): queremos que o valor presente das oito prestações, descontadas pela taxa apropriada, seja igual a
. As prestações são mensais, mas a capitalização pedida é anual: se a taxa efetiva anual for
, a taxa efetiva mensal equivalente é
Para uma série de pagamentos mensais iguais (anuidade imediata) o valor presente é dado pela soma geométrica
Explico rapidamente de onde vem essa fórmula: a soma
é uma soma geométrica com razão
; somando-a e multiplicando por
obtemos a expressão fechada
. Cada termo é descontado k meses usando o fator
.
Passo 3
Montamos a equação que relaciona
(via
) e os valores conhecidos:
Isolando a fração obtemos
Calculando o lado direito (divisão numérica):
Passo 4
Agora precisamos achar
que satisfaz
A função do lado esquerdo é decrescente em
, então podemos procurar
por tentativa/ajuste numérico. Teste com
(ou seja,
ao mês): calculemos
passo a passo
Logo
e
Multiplicando por
dá
. Isso está numa concordância numérica praticamente exata com
. Portanto a taxa mensal equivalente é
Passo 5
Agora convertemos essa taxa mensal
para a taxa efetiva anual
já que a capitalização pedida é anual. A relação é
Substituindo
temos
Podemos calcular
multiplicando progressivamente (ou usar a relação
). Usando multiplicações sucessivas obtemos
Portanto
Em termos percentuais isso é aproximadamente
ao ano.