O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por
800
$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
c) trimestral;
c) trimestral;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Pagamento à vista:
. - Pagamento parcelado: oito prestações mensais de
(assumo o formato usual: prestações ao final de cada mês, nos meses ). - Pede: determinar a taxa de juros nominal anual (taxa nominal anualizada) quando a capitalização é trimestral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Valor da prestação mensal:
. - Número de prestações:
. - Valor à vista (valor presente que as prestações devem ter):
. - Capitalização trimestral significa que a taxa nominal anual
se divide em 4 capitais por ano, cada uma com taxa trimestral . As prestações são mensais, então precisaremos relacionar a taxa trimestral com a taxa mensal efetiva.
Passo 2
Definimos variáveis e a estratégia (sem resolver ainda):
- Seja
a taxa nominal anual que queremos (capitalização trimestral). - A taxa por trimestre é
. - A taxa mensal efetiva (taxa por 1 mês) será chamada de
. Como um trimestre tem 3 meses, a relação entre e é a de equivalência de capitalização:
- O valor presente de uma anuidade de
pagamentos mensais descontados à taxa mensal (anuidade-imediata) é
Aqui
é o valor presente,
é a prestação,
é o número total de prestações e
é a taxa por período (mês). Essa fórmula vem de somar a série geométrica dos descontos das prestações:
e usando a soma da progressão geométrica chega-se à fórmula acima. Vou usar essa fórmula para relacionar
com os dados do problema e, depois, obter
pela relação entre
e
.
Passo 3
Escrevendo a equação do valor presente com os números do enunciado:
Isolando o fator anuidade:
Calculo o lado direito:
Assim precisamos encontrar
que satisfaça
Passo 4
Resolvendo numericamente para
(método prático: tentativa e ajuste). Vou avaliar a função
para alguns
e achar o que dá aproximadamente
.
- Para
(6% ao mês) temos aproximadamente
logo
Isso fica um pouco abaixo do alvo
, então a taxa
correta é ligeiramente menor que
(porque
decresce com
).
- Para
temos (avaliando com maior precisão via potências):
logo
que é um pouco acima do alvo. Assim a solução está entre
e
.
Fazendo uma interpolação linear simples entre os dois valores (bom para ajustes finos aqui) encontramos
Essa aproximação foi obtida porque
e
; o valor desejado
fica muito próximo de
, levando a
ligeiramente acima de
. Checando com mais precisão a potência:
Passo 5
Agora passo da taxa mensal
para a taxa nominal anual com capitalização trimestral. Lembre-se da relação:
Portanto
Com
já calculei
. Então
Passo 6
Interpretação e arredondamento final:
é a taxa nominal anual (capitalização trimestral) em forma decimal. Convertendo para porcentagem:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais:
a.a., com capitalização trimestral.