O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por \ 800 ou em oito prestações mensais deçõ$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
c) trimestral;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Pagamento à vista: \$800.
  • Pagamento parcelado: oito prestações mensais de \$128{,}83 (assumo o formato usual: prestações ao final de cada mês, nos meses 1,2,\dots,8).
  • Pede: determinar a taxa de juros nominal anual (taxa nominal anualizada) quando a capitalização é trimestral.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor da prestação mensal: R = 128{,}83.
  • Número de prestações: n = 8.
  • Valor à vista (valor presente que as prestações devem ter): PV = 800.
  • Capitalização trimestral significa que a taxa nominal anual j se divide em 4 capitais por ano, cada uma com taxa trimestral i_{q} = j/4. As prestações são mensais, então precisaremos relacionar a taxa trimestral com a taxa mensal efetiva.

Passo 2

Definimos variáveis e a estratégia (sem resolver ainda):
  • Seja j a taxa nominal anual que queremos (capitalização trimestral).
  • A taxa por trimestre é \;i_{q} = \dfrac{j}{4}.
  • A taxa mensal efetiva (taxa por 1 mês) será chamada de i. Como um trimestre tem 3 meses, a relação entre i e i_q é a de equivalência de capitalização:
(1+i)^3 = 1 + i_{q} = 1 + \dfrac{j}{4}.
  • O valor presente de uma anuidade de n pagamentos mensais R descontados à taxa mensal i (anuidade-imediata) é
PV = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Aqui PV é o valor presente, R é a prestação, n é o número total de prestações e i é a taxa por período (mês). Essa fórmula vem de somar a série geométrica dos descontos das prestações: PV = R\sum_{k=1}^{n}(1+i)^{-k} e usando a soma da progressão geométrica chega-se à fórmula acima. Vou usar essa fórmula para relacionar i com os dados do problema e, depois, obter j pela relação entre i e i_q.

Passo 3

Escrevendo a equação do valor presente com os números do enunciado:
800 = 128{,}83 \cdot \frac{1-(1+i)^{-8}}{i}.
Isolando o fator anuidade:
\frac{1-(1+i)^{-8}}{i} = \frac{800}{128{,}83}.
Calculo o lado direito:
\frac{800}{128{,}83} \approx 6{,}2097338.
Assim precisamos encontrar i que satisfaça
\frac{1-(1+i)^{-8}}{i} \approx 6{,}2097338.

Passo 4

Resolvendo numericamente para i (método prático: tentativa e ajuste). Vou avaliar a função
F(i)=\frac{1-(1+i)^{-8}}{i}
para alguns i e achar o que dá aproximadamente 6{,}2097338.
  • Para i=0{,}06 (6% ao mês) temos aproximadamente
(1+0{,}06)^8 \approx 1{,}5939,\quad (1+0{,}06)^{-8}\approx 0{,}6275,
logo
F(0{,}06)\approx\frac{1-0{,}6275}{0{,}06}\approx\frac{0{,}3725}{0{,}06}\approx 6{,}2083.
Isso fica um pouco abaixo do alvo 6{,}2097338, então a taxa i correta é ligeiramente menor que 0{,}06 (porque F(i) decresce com i).
  • Para i=0{,}0599 temos (avaliando com maior precisão via potências):
(1+0{,}0599)^8 \approx 1{,}5921,\quad (1+0{,}0599)^{-8}\approx 0{,}6277,
logo
F(0{,}0599)\approx 6{,}21035,
que é um pouco acima do alvo. Assim a solução está entre 0{,}0599 e 0{,}06.
Fazendo uma interpolação linear simples entre os dois valores (bom para ajustes finos aqui) encontramos
i \approx 0{,}059922\quad\text{(mensal)}.
Essa aproximação foi obtida porque F(0{,}0599)\approx 6{,}21035 e F(0{,}06)\approx 6{,}20830; o valor desejado 6{,}2097338 fica muito próximo de 6{,}21035, levando a i ligeiramente acima de 0{,}0599. Checando com mais precisão a potência:
1+i \approx 1{,}059922,\quad (1+i)^3 \approx 1{,}1907530969.

Passo 5

Agora passo da taxa mensal i para a taxa nominal anual com capitalização trimestral. Lembre-se da relação:
(1+i)^3 = 1 + i_{q},\quad i_{q}=\frac{j}{4}.
Portanto
j = 4\big((1+i)^3 - 1\big).
Com i \approx 0{,}059922 já calculei (1+i)^3 \approx 1{,}1907530969. Então
j \approx 4\big(1{,}1907530969 - 1\big) = 4\cdot 0{,}1907530969 \approx 0{,}7630123878.

Passo 6

Interpretação e arredondamento final: j é a taxa nominal anual (capitalização trimestral) em forma decimal. Convertendo para porcentagem:
j \approx 0{,}7630123878 = 76{,}30123878\%.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais: j \approx 76{,}30\% a.a., com capitalização trimestral.

Resposta

j \approx 76{,}30\%

Exercícios relacionados