O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por \ 800 ou em oito prestações mensais deçõ$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
d) bimestral;

Passo 1

O enunciado dá duas formas de pagamento para um seguro de carro:
  • Pagamento à vista: \$ 800.
  • Pagamento em oito prestações mensais de \$ 128{,}83 cada.
O que é pedido:
  • Calcular a taxa nominal anual (percentual ao ano, valor nominal) que está sendo cobrada, supondo que os juros são capitalizados bimestralmente (ou seja, a cada dois meses).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor à vista (presente) = \$800.
  • Série de n=8 pagamentos mensais iguais de R = \$128{,}83.
  • Capitalização dos juros: bimestral (período de capitalização = 2 meses). Portanto, a taxa nominal anual que buscamos é informada como “nominal, capitalização bimestral” — o que significa que a taxa periódica por bimestre é \dfrac{\text{taxa nominal anual}}{6}, já que há 12/2=6 bimestres por ano.
  • Observação importante: as prestações são mensais, mas a capitalização pedida é bimestral. Então teremos que relacionar a taxa mensal efetiva com a taxa por bimestre (e depois com a taxa nominal anual).

Passo 2

Modelagem matemática do problema (como traduzir em equações).
  • Vamos chamar de \,i_m a taxa efetiva por mês (desconhecida).
  • O valor presente (PV) de uma anuidade imediata com pagamentos mensais R, durante n meses, descontada à taxa mensal \,i_m, é dada pela fórmula:
PV = R\cdot \frac{1 - (1+i_m)^{-n}}{i_m}.
Aqui:
  • R é o valor da prestação mensal ( \$128{,}83),
  • n é o número de prestações ( 8),
  • i_m é a taxa mensal efetiva (variável que vamos encontrar).
  • No nosso problema, o PV calculado por essa fórmula deve ser igual ao pagamento à vista de \$800. Logo a equação que determina i_m é:
128{,}83\cdot \frac{1 - (1+i_m)^{-8}}{i_m} = 800.
Explicação didática da fórmula:
  • A fórmula \dfrac{1 - (1+i)^{-n}}{i} aparece sempre quando somamos os valores presentes de pagamentos iguais feitos no final de cada período (anuidade imediata). Cada termo (1+i)^{-k} representa o fator de desconto do pagamento que ocorre no mês k.
  • Multiplicamos esse fator de anuidade por R para obter o PV total.

Passo 3

Relação entre taxa bimestral e taxa mensal.
  • Se a taxa por bimestre (2 meses) for \,i_2, e a taxa por mês for \,i_m, a equivalência entre fatores de acumulação em 2 meses diz:
1 + i_2 = (1 + i_m)^2.
Portanto
i_2 = (1+i_m)^2 - 1.
  • A taxa nominal anual com capitalização bimestral, que chamaremos de \,j_{\text{bim}}, é simplesmente 6 vezes a taxa por bimestre:
j_{\text{bim}} = 6\,i_2 = 6\big((1+i_m)^2 - 1\big).
Plano: primeiro vamos encontrar numericamente \,i_m resolvendo a equação do Passo 2; depois calculamos i_2 e finalmente j_{\text{bim}}.

Passo 4

Resolvendo numericamente a equação para \,i_m.
A equação a resolver é
f(i_m)=128{,}83\cdot \frac{1 - (1+i_m)^{-8}}{i_m} - 800 = 0.
Não há solução algébrica simples, então faremos aproximações numéricas por tentativa controlada (método de tentativa e ajuste). Vou mostrar alguns testes para entender o comportamento e aproximar a raiz.
Teste inicial (sem juros): se i_m=0 então PV = 128{,}83\cdot 8 = 1030{,}64 (maior que 800). Portanto precisamos de i_m>0 para reduzir o PV até 800.
Vamos testar alguns valores de i_m:
  1. i_m=0{,}02 (2% ao mês):
(1+i_m)^{-8} = 1{,}02^{-8} \approx 0{,}8530,
PV \approx 128{,}83\cdot\frac{1-0{,}8530}{0{,}02} \approx 947{,}5\quad(\text{ainda maior que }800).
  1. i_m=0{,}05 (5% ao mês):
(1{,}05)^{-8} \approx 0{,}6770,
PV \approx 128{,}83\cdot\frac{1-0{,}6770}{0{,}05} \approx 832{,}8\quad(\text{ainda maior que }800).
  1. i_m=0{,}06 (6% ao mês):
(1{,}06)^{8} \approx 1{,}59385 \Rightarrow (1{,}06)^{-8}\approx 0{,}6274,
PV \approx 128{,}83\cdot\frac{1-0{,}6274}{0{,}06} \approx 799{,}4\quad(\text{ligeiramente menor que }800).
Conclusão intermediária: a solução i_m está entre 0{,}05 e 0{,}06, bem próxima de 0{,}06.

Passo 5

Aproximação fina por interpolação/ajuste.
Usamos aproximações sucessivas entre os valores testados:
  • Em i_m=0{,}055 obtivemos (teste intermediário) PV \approx 815{,}1 \; (>800).
  • Em i_m=0{,}06 obtivemos PV\approx 799{,}4\;(<800).
Agora fazemos uma interpolação linear aproximada entre i_m=0{,}055 (PV≈815,1) e i_m=0{,}06 (PV≈799,4) para estimar i_m que dá PV = 800.
Diferença de PV entre as duas taxas: 815{,}1 - 799{,}4 = 15{,}7.
Queremos reduzir de 815,1 até 800, ou seja queda de 15{,}1 a partir de 815,1. A fração é 15{,}1/15{,}7 \approx 0{,}962. Aplicando isso ao intervalo de taxas 0{,}005 (de 0,055 a 0,06) obtemos ajuste de aproximadamente 0{,}005\times 0{,}962 \approx 0{,}00481. Então a estimativa de i_m é
i_m \approx 0{,}055 + 0{,}00481 \approx 0{,}05981.
Vamos refinar um pouco mais calculando o PV em i_m=0{,}05981:
Calcule v=(1+i_m)^{-1}=1/1{,}05981. Podemos usar aproximação exponencial ou calcular diretamente:
1{,}05981^{8} \approx e^{8\ln(1{,}05981)} \approx e^{8\cdot 0{,}0581} \approx e^{0{,}4648}\approx 1{,}5917,
logo (1{,}05981)^{-8}\approx 0{,}6282.
Então
PV \approx 128{,}83\cdot\frac{1-0{,}6282}{0{,}05981} \approx 128{,}83\cdot\frac{0{,}3718}{0{,}05981} \approx \frac{47{,}89}{0{,}05981} \approx 800{,}0\\ (\text{aprox.})
Portanto a taxa mensal efetiva que satisfaz a equação é aproximadamente
i_m \approx 0{,}05981 \quad\text{(ou seja }5{,}981\%\text{ ao mês).}ê
(Observação: com mais casas e um método numérico formal obteríamos um valor muito próximo; esta aproximação por interpolação já garante precisão compatível com arredondamento a dois decimais percentuais.)

Passo 6

Converter a taxa mensal encontrada para a taxa nominal anual com capitalização bimestral.
  • Primeiro encontramos a taxa por bimestre usando a relação
i_2 = (1+i_m)^2 - 1.
Substituindo i_m \approx 0{,}05981,
i_2 \approx (1{,}05981)^2 - 1 \approx 1{,}1229 - 1 = 0{,}1229 \quad(\text{ou }12{,}29\%\\ \text{por bimestre}).
  • Agora a taxa nominal anual com capitalização bimestral é simplesmente 6 vezes i_2:
j_{\text{bim}} = 6\,i_2 \approx 6\cdot 0{,}1229 \approx 0{,}7374.
Convertendo para percentagem usamos vírgula (conforme pedido): isso equivale a aproximadamente 73{,}74\% ao ano, nominal, com capitalização bimestral.

Passo 7

Verificação rápida (sanity check):
  • Taxa mensal i_m\approx 5{,}98\% ao mês é alta, mas faz sentido porque as prestações totalizam muito mais que o valor à vista ( 128{,}83\cdot 8 = 1030{,}64), então a taxa de desconto efetiva precisa ser grande para reduzir PV até 800.
  • A taxa nominal anual com capitalização bimestral obtida, \approx 73{,}7\%, é compatível com uma taxa efetiva mensal alta como a encontrada.

Resposta

\;73{,}74\% a.a. (nominal, capitalização bimestral)

Exercícios relacionados