O seguro de um automóvel pode ser pago à vista por
800
$128,83$. Considerando que está sendo cobrada uma taxa de juros nominal anualizada, calculá-la nas seguintes hipóteses sobre a capitalização dos juros:
d) bimestral;
d) bimestral;
Passo 1
O enunciado dá duas formas de pagamento para um seguro de carro:
- Pagamento à vista:
. - Pagamento em oito prestações mensais de
cada.
O que é pedido:
- Calcular a taxa nominal anual (percentual ao ano, valor nominal) que está sendo cobrada, supondo que os juros são capitalizados bimestralmente (ou seja, a cada dois meses).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Valor à vista (presente)
. - Série de
pagamentos mensais iguais de . - Capitalização dos juros: bimestral (período de capitalização = 2 meses). Portanto, a taxa nominal anual que buscamos é informada como “nominal, capitalização bimestral” — o que significa que a taxa periódica por bimestre é
, já que há bimestres por ano. - Observação importante: as prestações são mensais, mas a capitalização pedida é bimestral. Então teremos que relacionar a taxa mensal efetiva com a taxa por bimestre (e depois com a taxa nominal anual).
Passo 2
Modelagem matemática do problema (como traduzir em equações).
- Vamos chamar de
a taxa efetiva por mês (desconhecida). - O valor presente (PV) de uma anuidade imediata com pagamentos mensais
, durante meses, descontada à taxa mensal , é dada pela fórmula:
Aqui:
-
é o valor da prestação mensal ( ), -
é o número de prestações ( ), -
é a taxa mensal efetiva (variável que vamos encontrar). - No nosso problema, o PV calculado por essa fórmula deve ser igual ao pagamento à vista de
. Logo a equação que determina é:
Explicação didática da fórmula:
- A fórmula
aparece sempre quando somamos os valores presentes de pagamentos iguais feitos no final de cada período (anuidade imediata). Cada termo representa o fator de desconto do pagamento que ocorre no mês . - Multiplicamos esse fator de anuidade por
para obter o PV total.
Passo 3
Relação entre taxa bimestral e taxa mensal.
- Se a taxa por bimestre (2 meses) for
, e a taxa por mês for , a equivalência entre fatores de acumulação em 2 meses diz:
Portanto
- A taxa nominal anual com capitalização bimestral, que chamaremos de
, é simplesmente vezes a taxa por bimestre:
Plano: primeiro vamos encontrar numericamente
resolvendo a equação do Passo 2; depois calculamos
e finalmente
.
Passo 4
Resolvendo numericamente a equação para
.
A equação a resolver é
A equação a resolver é
Não há solução algébrica simples, então faremos aproximações numéricas por tentativa controlada (método de tentativa e ajuste). Vou mostrar alguns testes para entender o comportamento e aproximar a raiz.
Teste inicial (sem juros): se
então PV =
(maior que
). Portanto precisamos de
para reduzir o PV até
.
Vamos testar alguns valores de
:
-
(2% ao mês):
-
(5% ao mês):
-
(6% ao mês):
Conclusão intermediária: a solução
está entre
e
, bem próxima de
.
Passo 5
Aproximação fina por interpolação/ajuste.
Usamos aproximações sucessivas entre os valores testados:
Usamos aproximações sucessivas entre os valores testados:
- Em
obtivemos (teste intermediário) - Em
obtivemos .
Agora fazemos uma interpolação linear aproximada entre
(PV≈815,1) e
(PV≈799,4) para estimar
que dá PV = 800.
Diferença de PV entre as duas taxas:
.
Queremos reduzir de 815,1 até 800, ou seja queda de a partir de 815,1. A fração é
. Aplicando isso ao intervalo de taxas
(de 0,055 a 0,06) obtemos ajuste de aproximadamente
. Então a estimativa de
é
Queremos reduzir de 815,1 até 800, ou seja queda de
Vamos refinar um pouco mais calculando o PV em
:
Calcule
. Podemos usar aproximação exponencial ou calcular diretamente:
logo
.
Então
Portanto a taxa mensal efetiva que satisfaz a equação é aproximadamente
(Observação: com mais casas e um método numérico formal obteríamos um valor muito próximo; esta aproximação por interpolação já garante precisão compatível com arredondamento a dois decimais percentuais.)
Passo 6
Converter a taxa mensal encontrada para a taxa nominal anual com capitalização bimestral.
- Primeiro encontramos a taxa por bimestre usando a relação
Substituindo
,
- Agora a taxa nominal anual com capitalização bimestral é simplesmente
vezes :
Convertendo para percentagem usamos vírgula (conforme pedido): isso equivale a aproximadamente
ao ano, nominal, com capitalização bimestral.
Passo 7
Verificação rápida (sanity check):
- Taxa mensal
ao mês é alta, mas faz sentido porque as prestações totalizam muito mais que o valor à vista ( ), então a taxa de desconto efetiva precisa ser grande para reduzir PV até . - A taxa nominal anual com capitalização bimestral obtida,
, é compatível com uma taxa efetiva mensal alta como a encontrada.