5 Seis cargas iguais e de mesmo módulo são colocadas nos vértices de um hexágono. Calcule o módulo da força exercida sobre uma carga Q colocada no centro do hexágono.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Foram colocadas seis cargas iguais e de mesmo módulo nos vértices de um hexágono regular. Vou chamar a carga em cada vértice de q (o enunciado diz que são todas iguais, então todas têm o mesmo valor q).
  • No centro do hexágono foi colocada uma carga Q.
  • Não são fornecidas distâncias numéricas; vou denotar por R a distância do centro do hexágono até qualquer vértice (em um hexágono regular todos os vértices estão à mesma distância do centro).
  • O enunciado pede: calcular o módulo da força resultante exercida sobre a carga Q colocada no centro.

Passo 2

Relembrando a fórmula e o princípio que vamos usar (explicação didática):
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes):
F = k\,\frac{|Q\,q|}{r^{2}},
onde:
  • F é o módulo da força entre as duas cargas,
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico aqui),
  • Q e q são as cargas elétricas (com sinal; o módulo usa |\cdot|),
  • r é a distância entre as duas cargas.
  • Força é um vetor: além do módulo F acima, a direção é ao longo da reta que une as cargas; se os sinais forem iguais a força é repulsiva (aponta de uma carga para longe da outra), se sinais opostos é atrativa (aponta para a outra carga).
  • Princípio da superposição: a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de todas as outras cargas consideradas uma a uma. Ou seja,
\vec F_{\text{total}}=\sum_{i=1}^{6}\vec F_{i},
onde \vec F_{i} é a força exercida pela i-ésima carga do vértice sobre Q.
Estas são as ferramentas: a expressão do módulo da força entre dois pontos e o fato de que somamos vetores (não apenas módulos).

Passo 3

Calcular a força de uma única carga do vértice sobre Q (módulo e direção):
  • A distância entre Q (centro) e qualquer vértice é R (definida no Passo 1). Portanto, o módulo da força exercida por uma carga q de um vértice sobre Q é
F_{1}=k\,\frac{|Q\,q|}{R^{2}}.
  • A direção dessa força é radial: se q e Q têm o mesmo sinal, a força em Q devido a q aponta do centro para fora, ao longo do raio que liga o centro ao vértice; se os sinais são opostos, aponta do centro para o vértice (inverso). Em qualquer caso, a força de cada vértice tem direção radial (um dos seis vetores radiais igualmente espaçados).

Passo 4

Organizar as forças vetoriais das seis cargas e usar a simetria do hexágono:
  • Num hexágono regular, os seis vértices estão dispostos angularmente a cada 60^\circ ( \pi/3 rad). Posso numerá-los com ângulos
\theta_{n}=n\cdot\frac{\pi}{3},\qquad n=0,1,2,3,4,5.
  • A força vetorial proveniente da carga no vértice n pode ser escrita como
\vec F_{n}=F_{1}\,\hat r_{n},
onde \hat r_{n} é o versor radial que aponta do centro para o vértice n (ou na direção oposta, se os sinais fizerem a força apontar para o vértice; a argumentação a seguir é válida em módulo e direção porque todos os módulos são iguais).
  • Observe que existem pares de vértices diametralmente opostos: o vértice com ângulo \theta_{n} tem o oposto em \theta_{n}+\pi. Para estes dois vértices os versores são opostos:
\hat r_{n}+\hat r_{n+3}=\vec 0\quad\text{para }n=0,1,2.
Isto porque os dois vetores radiais têm mesma magnitude e direções exatamente opostas.
  • Assim, ao somar as forças vetoriais dos seis vértices, podemos agrupar em três pares opostos:
\vec F_{\text{total}}=\sum_{n=0}^{5}\vec F_{n} =F_{1}\big(\hat r_{0}+\hat r_{3}\big) +F_{1}\big(\hat r_{1}+\hat r_{4}\big) +F_{1}\big(\hat r_{2}+\hat r_{5}\big).
Cada par \hat r_{n}+\hat r_{n+3} é nulo, logo cada soma de pares dá \vec 0.

Passo 5

Conclusão final e interpretação física:
  • Como cada par de forças opostas se anula, a soma vetorial de todas as seis forças é o vetor nulo:
\vec F_{\text{total}}=\vec 0.
  • Portanto o módulo da força resultante sobre a carga Q colocada no centro é zero. Isso decorre unicamente da simetria geométrica (arranjo regular) e do fato de todas as cargas dos vértices terem o mesmo módulo.
  • Intuição: qualquer impulso que puxe Q em uma direção tem um impulso igual e oposto proveniente do vértice diametralmente oposto; tudo se cancela.

Resposta

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