5 Seis cargas iguais e de mesmo módulo são colocadas nos vértices de um hexágono. Calcule o módulo da força exercida sobre uma carga
colocada no centro do hexágono.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Foram colocadas seis cargas iguais e de mesmo módulo nos vértices de um hexágono regular. Vou chamar a carga em cada vértice de
(o enunciado diz que são todas iguais, então todas têm o mesmo valor ). - No centro do hexágono foi colocada uma carga
. - Não são fornecidas distâncias numéricas; vou denotar por
a distância do centro do hexágono até qualquer vértice (em um hexágono regular todos os vértices estão à mesma distância do centro). - O enunciado pede: calcular o módulo da força resultante exercida sobre a carga
colocada no centro.
Passo 2
Relembrando a fórmula e o princípio que vamos usar (explicação didática):
- Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntiformes):
onde:
-
é o módulo da força entre as duas cargas, -
é a constante eletrostática (não precisamos do valor numérico aqui), -
e são as cargas elétricas (com sinal; o módulo usa ), -
é a distância entre as duas cargas. -
Força é um vetor: além do módulo
acima, a direção é ao longo da reta que une as cargas; se os sinais forem iguais a força é repulsiva (aponta de uma carga para longe da outra), se sinais opostos é atrativa (aponta para a outra carga). -
Princípio da superposição: a força total sobre uma carga é a soma vetorial das forças de todas as outras cargas consideradas uma a uma. Ou seja,
onde
é a força exercida pela
-ésima carga do vértice sobre
.
Estas são as ferramentas: a expressão do módulo da força entre dois pontos e o fato de que somamos vetores (não apenas módulos).
Passo 3
Calcular a força de uma única carga do vértice sobre
(módulo e direção):
- A distância entre
(centro) e qualquer vértice é (definida no Passo 1). Portanto, o módulo da força exercida por uma carga de um vértice sobre é
- A direção dessa força é radial: se
e têm o mesmo sinal, a força em devido a aponta do centro para fora, ao longo do raio que liga o centro ao vértice; se os sinais são opostos, aponta do centro para o vértice (inverso). Em qualquer caso, a força de cada vértice tem direção radial (um dos seis vetores radiais igualmente espaçados).
Passo 4
Organizar as forças vetoriais das seis cargas e usar a simetria do hexágono:
- Num hexágono regular, os seis vértices estão dispostos angularmente a cada
( rad). Posso numerá-los com ângulos
- A força vetorial proveniente da carga no vértice
pode ser escrita como
onde
é o versor radial que aponta do centro para o vértice
(ou na direção oposta, se os sinais fizerem a força apontar para o vértice; a argumentação a seguir é válida em módulo e direção porque todos os módulos são iguais).
- Observe que existem pares de vértices diametralmente opostos: o vértice com ângulo
tem o oposto em . Para estes dois vértices os versores são opostos:
Isto porque os dois vetores radiais têm mesma magnitude e direções exatamente opostas.
- Assim, ao somar as forças vetoriais dos seis vértices, podemos agrupar em três pares opostos:
Cada par
é nulo, logo cada soma de pares dá
.
Passo 5
Conclusão final e interpretação física:
- Como cada par de forças opostas se anula, a soma vetorial de todas as seis forças é o vetor nulo:
-
Portanto o módulo da força resultante sobre a carga
colocada no centro é zero. Isso decorre unicamente da simetria geométrica (arranjo regular) e do fato de todas as cargas dos vértices terem o mesmo módulo. -
Intuição: qualquer impulso que puxe
em uma direção tem um impulso igual e oposto proveniente do vértice diametralmente oposto; tudo se cancela.