Um capacitor de 1,0 \mu F e energia inicialmente armazenada de 0,50 J é descarregado através de um resistor de 1,0 M \Omega. (a) Qual a carga inicial do capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do resistor no momento em que a descarga se inicia? (c) Determine V_{C}, a voltagem através do capacitor, e V_{R}, a voltagem através do resistor em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados (pegos do enunciado):
  • Capacitância: C=1{,}0\\ \mu\text{F}=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{F}.
  • Energia inicialmente armazenada no capacitor: U=0{,}50\\ \text{J}.
  • Resistência: R=1{,}0\\ \text{M}\Omega=1{,}0\times10^{6}\\ \Omega.
O enunciado pede:
(a) A carga inicial do capacitor Q_0.
(b) O valor da corrente através do resistor no instante em que a descarga se inicia, i(0).
(c) As expressões de V_{C}(t) (tensão no capacitor) e V_{R}(t) (tensão no resistor) em função do tempo.
(d) A taxa de geração de energia térmica no resistor (potência dissipada) P(t) em função do tempo.

Passo 2

Fórmulas úteis e ideia para (a). A energia armazenada num capacitor pode ser escrita de duas formas equivalentes:
U=\frac{1}{2}C V_{0}^{2}=\frac{Q_{0}^{2}}{2C},
onde:
  • U é a energia no capacitor (em joules),
  • C é a capacitância (em farads),
  • V_{0} é a tensão inicial entre as placas do capacitor (em volts),
  • Q_{0} é a carga inicial no capacitor (em coulombs).
Essas fórmulas vêm da definição de energia elétrica armazenada num capacitor: trabalho para colocar carga Q numa diferença de potencial V. A relação entre carga e tensão é Q=CV. Substituindo V=Q/C em U=\tfrac{1}{2}CV^{2} obtém-se U=Q^{2}/(2C).
Usando \dfrac{Q_{0}^{2}}{2C}=U, isolamos Q_{0}:
Q_{0}=\sqrt{2 C U}.
Agora substituímos números (faça conta mental ou no papel, sem calculadora pesada):
Q_{0}=\sqrt{2\cdot(1{,}0\times10^{-6})\cdot(0{,}50)}=\sqrt{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{C}.
Interpretação: Q_{0}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{C}=1{,}0\\ \text{mC}.
Também podemos obter a tensão inicial V_{0} se precisar:
V_{0}=\frac{Q_{0}}{C}=\frac{1{,}0\times10^{-3}}{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}0\times10^{3}\\ \text{V}=1000\\ \text{V}.
Ou diretamente por V_{0}=\sqrt{2U/C}=\sqrt{1{,}0/(1{,}0\times10^{-6})}=1000\\ \text{V}.

Passo 3

Resposta e interpretação para (b): ao iniciar a descarga, o capacitor fornece instantaneamente uma tensão V_{0} ao resistor. Pela lei de Ohm, a corrente inicial (valor absoluto) é
i(0)=\frac{V_{0}}{R}.
Substituindo V_{0}=1000\\ \text{V} e R=1{,}0\times10^{6}\\ \Omega:
i(0)=\frac{1000}{1{,}0\times10^{6}}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{A}=1{,}0\\ \text{mA}.
Observação sobre sinal: esta é a magnitude da corrente que atravessa o resistor no início; o sentido depende da polaridade do capacitor (a corrente é tal que o capacitor se descarrega).

Passo 4

Derivação da dependência temporal (início da parte (c)). Para a descarga RC série vale a equação diferencial que relaciona a carga q(t) do capacitor com a corrente:
i(t)=\frac{dq}{dt}.
Pela lei de Kirchhoff em torno do circuito temos que a tensão no resistor V_R(t) mais a tensão no capacitor V_C(t) é zero (sem fontes externas):
V_R(t)+V_C(t)=0.
Como V_R(t)=i(t)R e V_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}, obtemos
R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, separável. Podemos escrever:
\frac{dq}{dt}=-\frac{1}{RC}\,q.

Passo 5

Resolução da EDO e obtenção de q(t) e V_C(t). Resolver \dfrac{dq}{dt}=-\dfrac{1}{RC}q por separação de variáveis:
\frac{dq}{q}=-\frac{dt}{RC}.
Integrando de 0 a t e aplicando a condição inicial q(0)=Q_{0}:
\ln\!\left(\frac{q(t)}{Q_{0}}\right)=-\frac{t}{RC}\quad\Rightarrow\quad q(t)=Q_{0}\,e^{-t/(RC)}.
Logo a tensão no capacitor é
V_{C}(t)=\frac{q(t)}{C}= \frac{Q_{0}}{C}\,e^{-t/(RC)}=V_{0}\,e^{-t/(RC)}.
Definimos a constante de tempo \tau=RC. No nosso caso \tau= (1{,}0\times10^{6})(1{,}0\times10^{-6})=1{,}0\\ \text{s}. Portanto, numericamente,
V_{C}(t)=1000\,e^{-t/1{,}0}=1000\,e^{-t}\\ \text{V}.

Passo 6

Obtenção de i(t) e V_{R}(t) (comportamento em função do tempo) — completando (c). Derivando q(t):
i(t)=\frac{dq}{dt}=-\frac{Q_{0}}{RC}\,e^{-t/(RC)}.
Usando Q_{0}=C V_{0} e simplificando:
i(t)=-\frac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}.
A magnitude da corrente é \left|i(t)\right|=\dfrac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}. Como V_{R}(t)=i(t)R, obtemos
V_{R}(t)= -V_{0}\,e^{-t/(RC)}.
Interpretação de sinais: o sinal negativo indica que a queda de potencial no resistor, tomando a mesma referência de polaridade usada para V_C, é oposta à tensão no capacitor; numericamente (magnitude) a tensão no resistor é |V_{R}(t)|=V_{0}e^{-t/(RC)}. Substituindo os valores e \tau=1{,}0\\ \text{s}:
i(t)=-1{,}0\times10^{-3}\,e^{-t}\\ \text{A},\qquad V_{R}(t)=-1000\,e^{-t}\\ \text{V}.
Se preferir apenas as magnitudes positivas: \left|i(t)\right|=1{,}0\times10^{-3}e^{-t}\\ \text{A} e |V_{R}(t)|=1000e^{-t}\\ \text{V}.

Passo 7

Parte (d): potência dissipada no resistor em função do tempo. A potência instantânea dissipada por um resistor é
P(t)=i^{2}(t)\,R=\frac{V_{R}^{2}(t)}{R}.
Usando a expressão de \left|i(t)\right|=\dfrac{V_{0}}{R}e^{-t/(RC)},
P(t)=\left(\frac{V_{0}}{R}\,e^{-t/(RC)}\right)^{2}R=\frac{V_{0}^{2}}{R}\,e^{-2t/(RC)}.
Substituindo V_{0}=1000\\ \text{V}, R=1{,}0\times10^{6}\\ \Omega e \tau=RC=1{,}0\\ \text{s}:
P(t)=\frac{(1000)^{2}}{1{,}0\times10^{6}}\,e^{-2t}=1{,}0\,e^{-2t}\\ \text{W}.
Verificação útil (rápida e didática): a energia total liberada na descarga é \displaystyle\int_{0}^{\infty}P(t)\,dt=\frac{V_{0}^{2}}{R}\int_{0}^{\infty}e^{-2t/(RC)}dt=\frac{V_{0}^{2}}{R}\cdot\frac{RC}{2}=\frac{1}{2}CV_{0}^{2}=U, ou seja, a integral da potência dá a energia inicial 0{,}50\\ \text{J} — consistente.

Resposta

(a) Q_{0}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{C}=1{,}0\\ \text{mC}
(b) i(0)=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{A}=1{,}0\\ \text{mA}
(c) \displaystyle V_{C}(t)=V_{0}\,e^{-t/(RC)}=1000\,e^{-t}\\ \text{V},\qquad V_{R}(t)=-V_{0}\,e^{-t/(RC)}=-1000\,e^{-t}\\ \text{V}
(d) \displaystyle P(t)=\frac{V_{0}^{2}}{R}\,e^{-2t/(RC)}=1{,}0\,e^{-2t}\\ \text{W}

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