Um capacitor de
e energia inicialmente armazenada de
é descarregado através de um resistor de
. (a) Qual a carga inicial do capacitor? (b) Qual o valor da corrente através do resistor no momento em que a descarga se inicia? (c) Determine
, a voltagem através do capacitor, e
, a voltagem através do resistor em função do tempo. (d) Expresse a taxa de geração de energia térmica no resistor em função do tempo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede o que segue.
Dados (pegos do enunciado):
- Capacitância:
. - Energia inicialmente armazenada no capacitor:
. - Resistência:
.
O enunciado pede:
(a) A carga inicial do capacitor .
(b) O valor da corrente através do resistor no instante em que a descarga se inicia, .
(c) As expressões de (tensão no capacitor) e
(tensão no resistor) em função do tempo.
(d) A taxa de geração de energia térmica no resistor (potência dissipada) em função do tempo.
(a) A carga inicial do capacitor
(b) O valor da corrente através do resistor no instante em que a descarga se inicia,
(c) As expressões de
(d) A taxa de geração de energia térmica no resistor (potência dissipada)
Passo 2
Fórmulas úteis e ideia para (a). A energia armazenada num capacitor pode ser escrita de duas formas equivalentes:
onde:
-
é a energia no capacitor (em joules), -
é a capacitância (em farads), -
é a tensão inicial entre as placas do capacitor (em volts), -
é a carga inicial no capacitor (em coulombs).
Essas fórmulas vêm da definição de energia elétrica armazenada num capacitor: trabalho para colocar carga
numa diferença de potencial
. A relação entre carga e tensão é
. Substituindo
em
obtém-se
.
Usando
, isolamos
:
Agora substituímos números (faça conta mental ou no papel, sem calculadora pesada):
Interpretação:
.
Também podemos obter a tensão inicial
se precisar:
Ou diretamente por
.
Passo 3
Resposta e interpretação para (b): ao iniciar a descarga, o capacitor fornece instantaneamente uma tensão
ao resistor. Pela lei de Ohm, a corrente inicial (valor absoluto) é
Substituindo
e
:
Observação sobre sinal: esta é a magnitude da corrente que atravessa o resistor no início; o sentido depende da polaridade do capacitor (a corrente é tal que o capacitor se descarrega).
Passo 4
Derivação da dependência temporal (início da parte (c)). Para a descarga RC série vale a equação diferencial que relaciona a carga
do capacitor com a corrente:
Pela lei de Kirchhoff em torno do circuito temos que a tensão no resistor
mais a tensão no capacitor
é zero (sem fontes externas):
Como
e
, obtemos
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, separável. Podemos escrever:
Passo 5
Resolução da EDO e obtenção de
e
. Resolver
por separação de variáveis:
Integrando de
a
e aplicando a condição inicial
:
Logo a tensão no capacitor é
Definimos a constante de tempo
. No nosso caso
. Portanto, numericamente,
Passo 6
Obtenção de
e
(comportamento em função do tempo) — completando (c). Derivando
:
Usando
e simplificando:
A magnitude da corrente é
. Como
, obtemos
Interpretação de sinais: o sinal negativo indica que a queda de potencial no resistor, tomando a mesma referência de polaridade usada para
, é oposta à tensão no capacitor; numericamente (magnitude) a tensão no resistor é
. Substituindo os valores e
:
Se preferir apenas as magnitudes positivas:
e
.
Passo 7
Parte (d): potência dissipada no resistor em função do tempo. A potência instantânea dissipada por um resistor é
Usando a expressão de
,
Substituindo
,
e
:
Verificação útil (rápida e didática): a energia total liberada na descarga é
, ou seja, a integral da potência dá a energia inicial
— consistente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)