Considere as funções f:[-1,1] \rightarrow \mathbb{R} e g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definidas pelas expressões:
f(t)=-t^{2}+\sqrt{3} t+\frac{1}{2} \quad \text { e } \quad g(x)=\sqrt{3} \sin x+\frac{1}{2} \cos (2 x) .
(a) Encontre os valores máximo e mínimo de f e os valores reais t em que f assume tais valores. Justifique o resultado.
(b) Encontre os valores máximo e mínimo de g e os valores reais x em que g assume tais valores. Justifique o resultado.
(c) Por que pode-se afirmar que a função f tem máximo e mínimo? Se trocarmos o domínio de f por (-1,1) ainda temos máximo e mínimo?
Dica: No item (b) use identidades trigonométricas, depois substitua t=\sin x e use o item (a).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os extremos da função quadrática
f(t) = -t^2 + \sqrt{3}\,t + \tfrac12,\quad t\in[-1,1],
e da função trigonométrica
g(x) = \sqrt{3}\,\sin x + \tfrac12\cos(2x),\quad x\in\mathbb{R},
além de discutir existência de extremos em domínios fechados e abertos. Vamos usar derivada e concavidade para f, identidades trigonométricas para g e o Teorema de Weierstrass para a questão de existência.

Passo 2

Para f computamos a derivada
f'(t) = -2t + \sqrt{3}.
Igualando a zero,
-2t + \sqrt{3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Como o coeficiente de t^2 em f é -1<0, a parábola é côncava para baixo e esse ponto é um máximo. Os candidatos a mínimo são os extremos do intervalo, t=-1 e t=1.

Passo 3

Calculamos os valores:
f\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = -\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2} +\sqrt{3}\,\tfrac{\sqrt{3}}{2} +\tfrac12 = -\tfrac34 + \tfrac32 + \tfrac12 = \tfrac54,
f(1) = -1 + \sqrt{3} + \tfrac12 = -\tfrac12 + \sqrt{3}, \qquad f(-1) = -1 - \sqrt{3} + \tfrac12 = -\sqrt{3} - \tfrac12.
Logo o máximo é f_{\max}=\tfrac54 em t=\tfrac{\sqrt3}{2} e o mínimo é f_{\min}=-\sqrt3-\tfrac12 em t=-1.

Passo 4

Para g usamos \cos(2x)=1-2\sin^2x, obtendo
g(x) = \sqrt{3}\,\sin x + \tfrac12\bigl(1-2\sin^2 x\bigr) = -\sin^2 x + \sqrt{3}\,\sin x + \tfrac12.
Se definirmos t=\sin x, então t\in[-1,1] e
g(x) = -t^2 + \sqrt{3}\,t + \tfrac12 = f(t).
Pelo item (a), g atinge máximo \tfrac54 quando \sin x = \tfrac{\sqrt3}{2}, ou seja
x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,
e mínimo -\sqrt3-\tfrac12 quando \sin x = -1, isto é
x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k.

Passo 5

A função f é contínua em [-1,1], que é compacto, e pelo Teorema de Weierstrass qualquer função contínua em conjunto compacto atinge máximo e mínimo. Se mudarmos o domínio para (-1,1), ele deixa de ser fechado (não é compacto) e o valor mínimo -\sqrt3-\tfrac12 (ocorrido em t=-1) não pertence a (-1,1), logo o mínimo não é atingido. O máximo em t=\tfrac{\sqrt3}{2} continua sendo atingido pois fica no interior.

Resposta

(a) f_{\max}=\tfrac54 em t=\tfrac{\sqrt3}{2}; f_{\min}=-\sqrt3-\tfrac12 em t=-1.
(b) g_{\max}=\tfrac54 para x=\tfrac\pi3+2\pi k ou x=\tfrac{2\pi}3+2\pi k;
\,g_{\min}=-\sqrt3-\tfrac12 para x=-\tfrac\pi2+2\pi k.
(c) Em [-1,1] o domínio é compacto e f contínua, logo atinge extremos. Em (-1,1) o mínimo exigido em t=-1 não está no domínio, portanto não há mínimo.

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